스라소니 머릿속에는

Representation Theory

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개요

Representation theory는 추상적인 group의 원소를 구체적인 행렬(또는 linear operator)로 나타내는 이론이다. 양자역학에서 대칭성을 다루는 핵심 도구이며, 해석역학에서도 Galilean group, Lorentz group 등의 구조를 분석하는 데 사용된다.

이 노트는 양자역학 Quantum Mechanics과 해석역학 Analytical Mechanics에서 이미 배운 내용을 바탕으로, representation theory의 기본 개념을 정리한다.

Group (군)

정의

집합 와 연산 이 다음 네 가지를 만족하면 를 group이라 한다:

  • Closure:
  • Associativity:
  • Identity: such that
  • Inverse: , such that

이미 만난 Group들

Rotation group SO(3): 3차원 공간에서의 모든 회전의 집합. 두 회전을 연속 적용하면 또 다른 회전이고, 항등 회전이 있고, 역회전이 있다. 양자역학 Chapter 3의 주인공.

Galilean group Gal(3): AM lecture note - Transformation of equation, Casimir Invariants에서 배운 것. 공간 병진(), 시간 병진(), 회전(), boost()를 모두 포함한다.

SU(2): unitary matrix 중 인 것들의 집합. Spin-의 회전이 여기에 해당한다. SO(3)의 double cover.

Lie Algebra

정의

Lie group의 항등원 근방에서의 무한소 변환을 기술하는 대수 구조. Group의 원소를 로 쓸 때, generator 들이 이루는 공간이 Lie algebra이다.

Lie algebra의 핵심 구조는 commutation relation (Lie bracket):

여기서 는 structure constant라 부른다.

이미 만난 Lie Algebra들

(angular momentum algebra): 양자역학에서 가장 중요한 Lie algebra.

, , 세 개의 generator가 이 관계를 만족한다. Structure constant는 (Levi-Civita symbol). , , 모두 이 algebra를 만족한다.

(Schwinger model의 확장): , , 그리고 의 적절한 조합이 만드는 algebra. 를 정수 단위로 바꾸는 operator를 포함한다. Angular momentum의 와는 다른 algebra.

Galilean algebra: AM lecture note - Transformation of equation, Casimir Invariants에서 다룬 , , , 사이의 commutation relation 전체가 Galilean Lie algebra이다.

Representation (표현)

정의

Group 의 representation이란, 의 원소를 벡터 공간 위의 linear operator(행렬)로 대응시키는 함수 이다:

이 대응이 group 구조를 보존해야 한다:

𝟙

직관적으로, “추상적인 group 원소에 구체적인 행렬을 배정하는 규칙” 이다.

양자역학에서의 Representation

SO(3) (또는 SU(2))의 한 원소인 “회전 “에 대해, 양자역학에서 배운 여러 가지 행렬 표현이 있다:

representation: 회전 을 행렬 로 나타냄.

이 행렬이 작용하는 공간: (spin- Hilbert space). 차원 = .

representation: 같은 회전 을 행렬 로 나타냄.

이 행렬이 작용하는 공간: 또는 . 차원 = .

일반적인 representation: 회전 을 행렬로 나타냄.

같은 물리적 회전인데 다른 크기의 행렬로 나타낸 것 — 각각이 하나의 representation이다.

Irreducible Representation (기약 표현)

정의

Representation 가 작용하는 벡터 공간 의 부분 공간 가 있어서, 모든 group 원소 에 대해 이면 (즉, 가 에 의해 자기 자신 안에서만 섞이면) 를 invariant subspace라 한다.

Representation이 irreducible하다는 것은, trivial한 것(과 전체) 외에 invariant subspace가 없다는 뜻이다. 더 작은 block으로 쪼갤 수 없다.

양자역학에서의 예시

Irreducible의 예: representation에서 에 아무 회전을 가해도 이 세 함수가 서로 섞이기만 하지, 이 공간 밖으로 나가지 않는다. 그리고 이 셋 중 일부만 따로 분리되는 더 작은 부분 공간도 없다. 따라서 은 irreducible representation이다.

Reducible의 예: 과 을 합친 4차원 공간 을 생각하자. 회전을 가하면:

  • 은 절대 다른 것들과 섞이지 않는다 (은 회전에 불변)
  • , , 는 서로만 섞인다

따라서 이 4차원 representation은 block과 block으로 분해된다:

이것은 reducible — 더 작은 irreducible representation들의 직합(direct sum)으로 쪼개진다.

물리적 핵심

양자역학의 핵심 전략: Hilbert space를 irreducible representation들로 분해하면, 각 block 안에서 문제가 독립적으로 풀린다. 양자수가 하나 정해지면 그 안에서의 물리(의 범위, ladder operator의 계수, rotation matrix)가 완전히 결정된다.

해석역학에서의 예시

AM lecture note - Transformation of equation, Casimir Invariants에서 배운 질문:

“p orbital은 SO(3) group에 irreducible하다”의 의미?

이제 답할 수 있다: orbital은 인 세 함수 이 이루는 3차원 공간이고, 이것은 SO(3)의 3차원 irreducible representation이다. 아무리 회전을 해도 이 세 함수가 서로 섞이기만 할 뿐, 더 작은 부분 공간으로 분해되지 않는다.

Casimir Operator와의 연결

각 irreducible representation을 구별해주는 것이 Casimir operator이다.

의 경우: 이 Casimir operator. 모든 generator , , 와 commute하며, 하나의 irreducible representation 안에서 고유값 이 일정하다. 가 다르면 다른 irreducible representation이다.

Galilean algebra의 경우: Casimir Invariants에서 배운 (질량), (내부 에너지), (spin)이 Casimir operator들이다.

정리하면: Casimir operator의 고유값이 irreducible representation에 이름표를 붙여준다.

Addition of Angular Momentum

Sakurai Chapter 4에서 배울 내용: 두 angular momentum , 를 합치면?

왼쪽은 차원의 reducible representation이고, 오른쪽은 이것을 irreducible representation들의 direct sum으로 분해한 것이다. 이 분해에 등장하는 계수가 Clebsch-Gordan coefficient이다.

예시: spin- 두 개를 합치면 ():

차원이 차원으로 분해. Singlet ()과 triplet ().

연관 학습 노트

References

  • Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 3
  • 해석역학 수업 1주차 (Galilean group과 Casimir invariants)

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