QM lecture note - Orbital Angular Momentum and Spherical Harmonics

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Schwinger Oscillator Model and Wigner d-Matrix에서 Schwinger Oscillator Model을 도입하여 두 독립 harmonic oscillator의 ladder operator로 각운동량 대수를 구성하고, Baker-Hausdorff Lemma와 binomial expansion을 거쳐 Wigner’s -matrix formula 의 닫힌 공식을 유도했다.

오늘의 핵심

• Orbital angular momentum의 position representation: 를 연산자로 나타내고, position eigenket에 적용
• 축 infinitesimal rotation operator 가 position ket에 작용하는 효과: 고전적 축 회전과 동일
• Spherical coordinate에서 , , , , 의 미분 연산자 표현 유도
• Spherical harmonics 의 정의와 미분 방정식
• 의 boundary 조건()으로부터 유도
• 반정수 의 배제: 를 대입하면 singularity 발생
• Ladder operator를 반복 적용하여 일반적인 의 공식 유도 (Sakurai 식 3.246)
• Spherical harmonics의 orthonormality
• Spherical harmonics as rotation matrices: 로부터 유도

필기 내용

1. Orbital Angular Momentum의 Position Representation

스핀을 무시할 수 있다면, 입자 하나에 작용하는 angular momentum은 orbital angular momentum 과 같다. 을 wave function (position and momentum)에 작용하는 연산자로 취급하자. 고전역학에서와 똑같이 정의된다:

와 연산자로 , , 각각을 나타내면, 역시 고전역학과 같다:

2. Infinitesimal Rotation Operator의 Position Ket에 대한 작용

일단 를 회전축 삼아 만큼 회전시키는 infinitesimal operator 를 고려하자:

, 형식으로 나타낸 를 에 적용하면 어떻게 되는가?

가 원래 infinitesimal translation operator였음을 잊지 말라:

을 계산하기 위해, 에서 position operator가 먼저 ket에 적용되도록 수정한다. , 즉 를 이용:

이를 적용하면:

고전적으로 축 회전을 했을 때 일어나는 일과 똑같다!

3. Passive Transform과 Spherical Coordinate에서의

임의의 상태 에 를 적용하고 이를 , , 로 나타낸다면:

일종의 passive transform이 나타난다.

, , 의 좌표로 확인하는 편이 더 명백할 수 있다:

에 대해 1차 Taylor 전개하면:

따라서, spherical coordinate에서 를 나타내면, position eigenket 에 대해:

마치 가 를 translate하여 인 것처럼, 또한 를 translate하여 인 것이다.

차원 분석

연산이 무차원이기에, angular momentum의 차원과 의 차원이 같음을 알 수 있다.

4. , 의 Spherical Coordinate 표현

비슷한 방법으로 와 도 다룰 수 있다.

축 회전에 대해:

를 spherical coordinate로 나타내면:

따라서 를 , , coordinate로 나타내면:

는 이렇게 생겼다:

와 에 대한 식을 직관적으로 이해할 수 있을까?

Cartesian에서 , 로 출발하여 spherical coordinate로의 chain rule 변환을 수행하면 같은 결과를 얻을 수 있다.

5. 와 의 Spherical Coordinate 표현

라고 정의한 것에 따라, 를 구해보면 훨씬 간단한 게 나타난다:

, 를 이용하면:

마지막으로, total angular momentum 를 계산하면:

일 때 spherical coordinate에서 Laplacian의 angular part와 닮았다! 어쩌면 슈뢰딩거 방정식을 풀고 변수분리를 하다 보면 그렇게 될 것이다.

6. Spherical Harmonics (Sakurai 3.6.2)

양자수 , , 으로 특정되는 상태

양자수 , , 으로 특정되는 상태를 이라 볼 수 있다. 이것을 공간 좌표로 나타내면:

potential이 회전에 symmetry를 가져서, 각도 에만 dependent한 항 만 분리할 수 있다고 가정.

와 에 대한 정보만을 가진 directional eigenket 을 도입하면:

라고 볼 수 있다.

에 대한 미분 방정식

이 무엇인지 두 가지로 평가하자:

방법 ①: 이므로:

방법 ②: 앞서 확인한 것처럼:

따라서 에 대한 미분 방정식은:

이런 아주 간단한 1차 미방이 나오며, 에서 에 대한 부분은 여야만 한다:

여기서 은 아직 모른다.

마찬가지로, 의 성질 을 이용하면:

예전에 수소 원자 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 이 변수 분리 인자로 기능했을 것이다.

Orthonormality

의 orthogonal한 성분을 확인해 보자. 임에 따라, completeness relation:

을 적용하면:

7. 의 Boundary 조건과 유도

의 특성으로 넘어가자. 일 때 (-angular momentum이 최대/최소일 때), 를 적용하면 0이 나와야 한다:

여기에 를 대입하면:

정리하면:

가 를 하나 없애는 대신 를 만들고, 거기에 이 곱해진다는 점에서:

이때 은 계수.

최종적으로:

8. 반정수 의 배제

이 식을 이용하여, , 의 eigenstate는 반정수 을 가질 수 없음을 확인할 수 있다.

, 을 대입하면:

, 을 대입하면:

에 를 취해서 가 나오는지 확인해 본다:

이것은 와 형태가 맞지 않다.

또한 때문에 에서 singularity를 가진다.

따라서 (반정수)인 spherical harmonics는 물리적으로 허용되지 않는다.

J, L, S, 이 셋의 관계는 무엇인가?

AI 답변

가 가장 일반적인 개념이고, 과 는 그 특수한 경우이다.

: angular momentum commutation relation 를 만족하는 모든 operator를 통칭하는 추상적인 틀이다. 이 대수 구조만으로 eigenvalue spectrum, ladder operator 등을 유도할 수 있으며, 가 정수뿐 아니라 반정수도 될 수 있다.

: orbital angular momentum. 공간 좌표에서의 운동으로 정의되므로 position basis로 표현 가능하고, wave function의 단일값 조건에 의해 은 정수만 허용된다.

: spin angular momentum. 입자의 내재적 성질로, 공간 좌표와 무관하다. 따라서 단일값 조건에 묶이지 않아 같은 반정수가 가능하다.

전체 구조는 이며, 세 개 모두 같은 commutation relation을 만족한다.

9. Ladder Operator를 이용한 일반적 유도

적분을 이용해 normalization을 진행하여 을 구할 수 있다. 직접 계산하지 않고 교과서 내용을 빌리면:

을 알았으니 이제 ladder operator를 사용해 모든 상태를 구할 수 있다. 이 연속된 과정의 일반 식을 구하자면:

의 반복 적용에 대한 일반 공식

로 쓰고 를 적용하면:

교수님 판서에 따르면, 마지막 줄은 다음과 같이 변환된다:

교수님 판서 오류 확인

교수님께서는 의 지수에 을 쓰셨는데, 검산 결과 이 맞다 (이 아님).

검산: 를 적용하면,

이것은 와 일치한다. ✓

에 를 번 적용하면? 은근 유추하기 어렵지만, 일반적인 결과는:

Sakurai 식 3.246 유도

에다가, 에 대한 명시적인 식을 넣기 위해 지금까지 풀었다.

를 위 식에 대입한다. , , 임에 유의한다:

를 이용하면, 정말 식 (3.246)이 나오는 걸 확인할 수 있다:

그리고 음의 에 대해:

일 때:

교수님의 를 이용한 유도

교수님께서는 이와 똑같은 내용을 를 이용해 유도했다:

천장 상태 에서 이 될 때까지 를 번 적용하자:

에 대한 식도 같은 형태이다:

10. Spherical Harmonics as Rotation Matrices (Sakurai 3.6.3)

우리는 앞서 정의한 directional eigenket 을 를 회전시켜서 얻고 싶다:

이 에 해당한다고 치자. 축에 대해 만큼 회전하고, 축에 대해 만큼 회전하는 과정이 이다:

오일러 각으로 나타내면, 축에 대해 만큼 회전하고, 축에 대해 만큼 회전하는 과정:

의 행렬 표현

항등행렬 을 집어넣자:

양 변에 을 적용하면, 의 행렬 표현을 얻는다:

의 계산

는 에 해당한다. 따라서:

은 일 때 0이다. 에서도 알 수 있듯이:

최종 결과

원래 식에 대입하면:

특히 일 때:

비례 관계의 물리적 의미: Normalization 관점

는 가 인 상태가 방향 에 있을 probability amplitude이다.

는 인 상태를 만큼 돌렸을 때 상태가 될 확률진폭이다.

둘 다 같은 물리를 기술하니 비례 관계인 것은 당연하다. 비례 상수 는 두 normalization convention의 비율에서 나온다:

• 은 ” 값이 정해진 상태”가 에 있을 확률이므로, 전 입체각에 대해 적분하면 1: 로 normalization
• 은 “돌리는 각이 정해져 있을 때” 가 가지 상태 중 이 될 확률이므로, : 개 항으로 normalization

따라서 비례 상수는 “연속적인 방향 공간의 크기 “와 “이산적인 상태의 개수 “의 비율로 즉시 결정된다.

궁금한 내용

와 에 대한 식을 직관적으로 이해할 수 있을까?

, 가 나오는 과정은 coordinate transformation 말고도 직관적으로 이해할 수 있는 방법이 있는가?

Spherical harmonics의 물리적 의미

는 상태의 “angular wave function”인데, 이 커질수록 angular distribution이 어떻게 변하는지, 고전적 극한과 어떻게 연결되는가?

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

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QM lecture note - Addition of Angular Momentum and CG Coefficients에서 , , 의 관계를 tensor product 구조로 정리하고, 두 각운동량의 합 에서 허용되는 의 범위와 Clebsch-Gordan coefficients, CG의 4가지 규칙 및 recursion relation을 통한 도출 방법, 그리고 spin-angular functions 을 다룬다.# References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 3.6

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