QM lecture note - Electric Dipole Approximation and TRK Sum Rule

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Absorption and Stimulated Emission

오늘의 핵심

필기 내용

이 노트의 설명은 Glia가 작성했다.

시험 대비로 빠르게 완성한 노트. 이후 직접 읽으면서 고치거나 보충할 것.

Sakurai 5.8.2 Electric Dipole Approximation

Symbol table

Symbol	Meaning
	Initial state (교과서의 )
	Final state
	Atomic size,
	Reduced wavelength of light,
	Fine-structure constant
	Absorption cross section
	Oscillator strength

1. 근사의 아이디어: 빛의 파장 ≫ 원자 크기

(5.320)의 matrix element 속 지수함수를 Taylor 전개하면 ()

전자는 원자 안()에만 있으므로, 두 번째 항의 크기는 이다.
이게 작으면 첫 항 1만 남기면 된다. → 이 얼마나 훌륭한 날먹인가!
원자 입장에서는 빛의 전기장이 공간적으로 균일하게 보인다는 뜻이다.

얼마나 작은가

빛의 에너지는 원자 level 간격 정도여야 흡수가 일어나므로

가벼운 원자(작은 )에서는 훌륭한 근사다. 예: 가시광선 파장 ~500 nm vs 원자 크기 ~0.1 nm.

2. Momentum matrix element → position matrix element

지수함수를 1로 두면

을 축, 을 축으로 잡으면 만 구하면 된다.

Trick: 에서 는 와 commute하므로 kinetic 항만 남는다.

양변을 로 감싸고, 가 양쪽 eigenstate에 작용하면 eigenvalue가 나오는 것을 쓰면

의 matrix element가 dipole operator 의 matrix element로 바뀌었다. 그래서 electric dipole (E1) approximation이라 부른다.

3. Selection rules

는 rank-1 spherical tensor이므로 Wigner-Eckart theorem에 의해

• 이 또는 방향 ():
• 이 방향 ():
• 공통: , 단 금지
• Parity: 는 odd이므로 parity가 바뀌어야 한다 (QM lecture note - Linear Stark Effect의 selection rule과 같은 논리)

4. E1 근사의 absorption cross section

(5.320)에 (5.325), (5.327)을 넣으면 이고, 이므로

-function 때문에 로 두면 :

는 가 level 간격과 맞을 때마다 날카로운 peak를 가진다 (흡수 스펙트럼의 선들).

모든 진동수에 대해 적분

가 ground state이면 모든 에 대해 이므로 모든 peak가 쪽에 있다. 모든 final state의 기여를 더하고 로 적분하면 가 사라진다.

질문: 이 전체 흡수량은 얼마인가? → TRK sum rule이 답한다.

5. Oscillator strength와 TRK sum rule

Oscillator strength

무차원 양이다. 각 transition 이 전체 흡수 중 얼마를 차지하는지를 나타낸다. 이름의 유래: 고전적으로 원자를 “고유진동수 인 전자 용수철(oscillator)들의 모음”으로 보았을 때, 는 그 진동수에 해당하는 oscillator가 몇 개 분량인지에 해당한다.

Thomas-Reiche-Kuhn (TRK) sum rule

유도: double commutator 가 상수임을 이용하자

Step 1. 연산자로 직접 계산. (5.326)을 한 번 더 쓰면

결과가 상수다. 따라서 어떤 state로 기댓값을 취해도 이다.

Step 2. 전개해서 기댓값. Commutator를 풀면

로 기댓값을 취하면, 첫 항과 셋째 항은 가 나 에 작용해서 가 된다.

Step 3. Completeness 삽입. 을 넣어서, 어떻게든 식이 를 포함하도록 고친다.

결과를 합하면

Step 4. 두 결과를 같게 놓기.

이것이 이다. ∎

왜 놀라운가

• 유도에 쓴 것은 와 “potential이 와 commute한다”는 사실뿐이다. Potential의 구체적인 모양을 전혀 몰라도 성립한다. 수소든 나트륨이든, 조화진동자든 상관없다.
• 은 bound state뿐 아니라 continuum state까지 모두 포함한다. Continuum으로의 흡수가 바로 5.8.3의 photoelectric effect다.
• 전자가 개인 원자에서는 가 된다.

6. 전체 흡수량은 고전적인 값

(5.329)에 (5.330)을 넣으면 이므로

(를 쓰면 가 사라진다.)

• 가 사라졌다. 이 값은 고전 전자기학(Jackson)의 oscillator sum rule과 정확히 같다.
• 는 classical electron radius m이다.
• 역사적으로 “새로운 양자역학”이 올바른 고전적 결과를 재현한 초기 사례 중 하나다.

한 문장 요약: 원자가 빛을 얼마나 흡수하는지를 모든 진동수에 걸쳐 더하면, 원자의 구조와 무관하게 고전적인 값 로 고정된다. 양자역학은 그 총량을 각 transition에 어떻게 나눠 주는지 ()만 정한다.

궁금한 내용

연관 학습 노트

• QM lecture note - Absorption and Stimulated Emission
• QM lecture note - Linear Stark Effect
• QM lecture note - Spin-Orbit Interaction and Fine Structure

다음 강의

QM lecture note - Photoelectric Effect

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.8.2

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