스라소니 머릿속에는

QM lecture note - Spontaneous Emission

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강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Photoelectric Effect

오늘의 핵심

필기 내용

이 노트의 설명은 Glia가 작성했다.

시험 대비로 빠르게 완성한 노트. 이후 직접 읽으면서 고치거나 보충할 것.

Sakurai 5.8.4 Spontaneous Emission

Symbol table

SymbolMeaning
Initial (excited) atomic state (교과서의 )
Final (lower) atomic state
Photon wave vector,
Box size for the radiation field
Amplitude of the vector potential
Electromagnetic energy density
Density of photon states
Lifetime,
Fine-structure constant
Spherical components of
(5.353) 이후: radial quantum number 등 나머지 label (Wigner-Eckart 표기)
Radial integral

1. 아이디어

들뜬 원자는 빛이 없어도 스스로 photon을 내고 아래 state로 내려간다. 이게 spontaneous emission이다.

  • 엄밀하게는 전자기장을 양자화해야 설명된다. 빛이 없는 vacuum에도 zero-point fluctuation이 있어서, 그것이 emission을 “자극”한다고 볼 수 있다. (7장)
  • 하지만 여기서는 고전적인 field로 정확한 답을 얻는 trick을 쓴다: 상자 안에 photon 하나 분량의 에너지 를 가진 고전 파동이 있다고 가정하고, stimulated emission rate (5.302a)를 계산한다.
  • 왜 이게 맞나: 양자화된 field에서 emission rate는 photon 수 에 대해 이다. 부분이 stimulated emission, 부분이 spontaneous emission이다. “photon 하나 분량”이 바로 이 에 해당한다.

Detailed balance 노트에서 본 것처럼, 이 과정이 있어야 열평형의 Boltzmann 분포가 유지된다.

2. 상자 안의 고전 파동, 진동하는 자기벡터 포텐셜을 상자 안에.

, 로 harmonic perturbation이고, emission이므로 (5.302a)를 쓴다.

한 변이 인 상자 + periodic boundary condition (photoelectric effect의 (5.333)과 같은 방식):

정하기: 상자 안의 에너지

는 방출되는 빛의 에너지(전자가 잃는 에너지)로 결정되어야 할 것이다.
즉, 에 의전하는 값이다.
박스 속 전자기장의 에너지를 계산해서 에 대한 식을 찾는다.

이므로 이고, 시간 평균 을 쓰면

이 값은 7장에서 field를 양자화해서 얻는 결과 (7.180)과 같다.

3. Photon의 density of states

지난 시간에는 전자 입자파의 density of state를 이용했다면, 이제는

, . 모든 방향에 대해 적분하면 (구 껍질)

(Photoelectric effect의 (5.337)과 같은 세기 방법. 차이는 전자 대신 photon 라는 것뿐이다.)
이니까

4. Matrix element: dipole approximation

Emission은 (5.312)의 항이므로

원자 transition의 파장은 ~100 nm 이상으로 원자보다 1000배 크므로 dipole approximation (5.321)
을 쓴다.
아무튼 이번 범위에는 dipole approximation밖에 안 나오는 군

그리고 (5.327)로 로 바꾸면

5. Lifetime

Life time은 transition rate의 inverse이다.

(5.302a) 에 (5.348), (5.349), (5.351)을 넣으면

를 넣으면 이 약분되고

  • 상자 크기 과 무관하다 → 물리적인 결과다.
  • 에 비례: 에너지 간격이 큰 transition일수록, 고에너지의 빛을을 방출할수록 훨씬 빨리 붕괴한다.

6. 예: unpolarized transition

Polarization을 spherical component로

교과서 오타 (Glia 확인)

교과서에는 로 적혀 있고 (5.353), (5.358)의 두 번째 항도 로 되어 있다. 첫 줄과 비교하면 올바른 형태는 다음과 같다.

즉 항의 계수는 이다. 최종 결과 (5.359)에는 만 쓰이므로 영향이 없다.

Wigner-Eckart theorem

Initial state는 unpolarized state, 즉 이 같은 비율로 섞여 있다. unless 이므로, (5.353)의 세 항은 각각 정확히 하나의 에 대해서만 0이 아니다.

Reduced matrix element는 세 항 모두 같으므로 하나()만 계산하면 된다.

(위 warning 참고: 두 번째 는 )

평균과 polarization 합

  • 어떤 이든 꼴이다.
  • Initial 세 개에 대해 평균: ()
  • 같은 에 대해 서로 수직인 polarization이 2개 있으므로

참고: 수소 에 대입하면 ns 정도가 나온다.

7. Dipole selection rule을 만족하지 않으면

Long wavelength 근사의 다음 항(의 고차 항)이 기여한다. 이 항들은 (원자 크기/파장)만큼씩 더 작으므로 lifetime이 훨씬 길다 (forbidden transition). 그래서 dipole-allowed final state가 있으면 그쪽이 압도한다.

궁금한 내용

연관 학습 노트

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References

  • Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.8.4

원본 필기 이미지

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