스라소니 머릿속에는

QM lecture note - Photoelectric Effect

7 min read

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Electric Dipole Approximation and TRK Sum Rule

오늘의 핵심

필기 내용

이 노트의 설명은 Glia가 작성했다.

시험 대비로 빠르게 완성한 노트. 이후 직접 읽으면서 고치거나 보충할 것.

Sakurai 5.8.3 Photoelectric Effect

Symbol table

SymbolMeaning
Initial atomic (bound) state (교과서의 )
Final continuum state, plane wave
Box size (box normalization)
Lattice integers labeling allowed
Density of final states
Solid angle of the ejected electron
Momentum transfer,
Polar angles of (Fig. 5.13)
Fine-structure constant

1. 문제 설정

Photoelectric effect = 빛을 흡수한 전자가 원자 밖으로 튀어나가는 것.
즉 bound state → continuum state () transition이다.

  • Initial state : 원자의 bound state
  • Final state: 자유 전자. 전자가 너무 느리지 않으면 핵의 Coulomb 힘을 무시하고 plane wave 로 근사한다.

5.8.1의 (5.320)을 그대로 쓰되,

final state가 continuum이므로 -function을 density of states 와 함께 적분한다. 이번에는 matrix element가 에너지뿐 아니라 전자가 튀어나가는 방향에도 의존하므로, 방향까지 구분해서 센다.

2. Box normalization → 전자가 자유롭게 움직이는 물질파

Plane wave는 규격화가 안 되므로, 한 변이 인 상자 안에서 의 적분이 1이 되도록 하고 periodic boundary condition을 준다.

는 정수다. 이면 는 연속 변수가 된다. 최종 결과에서 은 사라져야 한다.

3. Density of states (방향 포함, 고려려)

State 개수 세기 = 격자점 세기.

~ , 방향 안의 격자점 수는 구 껍질 부피 이다. 에너지와 의 관계는
이므로,

상태의 수를 구 껍질 부피 로 나타냈던 것을, 위에서 구한 관계식을 이용해 에 대한 식으로 고쳐준다.
와 를 쓰면

(Phase space에서 당 state 하나라는 것과 같은 말이다.)

4. Differential cross section

(5.320) 식에 위의 를 곱하고 로 적분하면 -function이 사라지고, 방향 당 cross section이 남는다.

은 matrix element 속 과 약분된다.

주의: 여기서는 dipole approximation을 쓰지 않는다. 튀어나간 전자의 파장은 원자 크기와 비슷할 수 있으므로 를 그대로 둔다.

5. 예: K-shell 전자 (hydrogen-like 1s)

Initial state는 수소 ground state에서 로 바꾼 것이다.

계산 전략

부분적분으로 를 왼쪽 두 지수함수로 넘긴다.
힘든 미분을 어려운 함수에 하지 않고 쉬운 함수에 떠넘기는 전략.
파동함수 특성 상 무한히 먼 곳에서는 0이 되어서 경계항은 0이된다.

  • 가 에 걸리면 이 나오는데, 이므로 0이다.

  • 가 에 걸리면 상수 가 나와서 적분 밖으로 나간다. 결국 matrix element
    이다.

  • 존재하는 지수 함수 둘을 합친다. 남는 적분은 , 즉 atomic wave function의 Fourier transform이다.

의 의미: (나간 전자의 운동량) − (들어온 photon의 운동량( 방향이니까 빛의 방향이다)). 이 차이만큼의 운동량을 원자(핵)가 받아 준다. 원래 전자가 성분의 운동량을 가지고 있었을 확률진폭이 인 셈이다.

1s의 Fourier transform

로 두면 이므로

이것을 (5.338)에 넣고 정리하면 ()

6. 각도 분포 (Fig. 5.13)

을 축, 을 축으로 두면

해석

  • : 전자는 polarization 방향(빛의 전기장이 흔드는 방향)으로 가장 많이 튀어나간다. 빛의 진행 방향()으로는 나가지 않는다.
  • 의 항: 가 작을수록 가 작아져 분모가 작아지므로, 분포가 앞쪽(빛의 진행 방향 쪽)으로 약간 기운다. 이건 photon 운동량 때문에 생기는 효과로, dipole approximation에서는 사라진다.
  • 의존성: 무거운 원자일수록 K-shell photoelectric effect가 매우 강하다.

궁금한 내용

연관 학습 노트

다음 강의

QM lecture note - Spontaneous Emission

References

  • Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.8.3

원본 필기 이미지

그래프 뷰

백링크