QM lecture note - Absorption and Stimulated Emission

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Harmonic Perturbation and Detailed Balance

오늘의 핵심

필기 내용

이 노트의 설명은 AI가 작성했다.

시험 대비로 빠르게 완성한 노트. 이후 직접 읽으면서 고치거나 보충할 것.

Sakurai 5.8.1 Absorption and Stimulated Emission

Symbol table

Symbol	Meaning
	Electron charge (, Sakurai convention)
	Vector potential of the classical radiation field
	Scalar potential
	Amplitude of the vector potential
	(Linear) polarization vector
	Propagation direction
	Angular frequency of the radiation
	Initial state (교과서의 )
	Final state
	Line width (natural or collision broadening)
	Energy density of the radiation field
	Energy flux (energy per area per unit time)
	Absorption cross section
	Fine-structure constant (initial state 와 구분하려고 첨자를 붙임)

Hamiltonian with a classical radiation field

Semiclassical treatment: 원자(전자)는 양자역학으로, 빛은 고전적인 전자기장으로 다룬다. 빛을 양자화(photon)하지 않아도 absorption과 stimulated emission은 정확히 설명된다.

Zeeman effect 때처럼 minimal coupling 를 하면

• 항은 field의 2차라서 약한 빛에서는 무시한다.
• 원래 인데, Coulomb gauge에서는 이므로 하나로 합쳐진다. (QM lecture note - The Zeeman Effect의 (5.130), (5.131))

Monochromatic plane wave

빛은 transverse wave이므로 이고, 그래서 (5.308)이 자동으로 만족된다.

Harmonic perturbation과의 대응

Harmonic perturbation의 (5.298)과 비교하면:

항	대응	과정	조건
		Absorption
		Stimulated emission

즉 이 절은 새로운 이론이 아니라, harmonic perturbation의 를 구체적으로 로 정한 것뿐이다.

Absorption

항의 계수를 읽으면

이것을 (5.303)의 아래 부호(absorption)에 넣으면

Line broadening

-function은 “빛의 에너지가 level 간격과 정확히 같을 때만 흡수한다”는 뜻이다.

• 이 continuum이면 와 함께 적분하면 된다. (→ 5.8.3 photoelectric effect)
• 이 discrete여도 ground state가 아닌 한 finite lifetime이 있어서 에너지가 무한히 날카롭지 않다 (natural broadening, 5.9절). 충돌에 의한 broadening도 있다.

그래서 를 폭 인 Lorentzian의 극한으로 본다.

이 Lorentzian은 적분하면 1이고, 높이의 절반에서 폭(FWHM)이 이다.

Absorption cross section

의미

에는 , 즉 빛의 세기가 들어 있다. 빛을 세게 쪼이면 많이 흡수하는 건 당연하니까, 원자 자체의 성질만 뽑아내려면 빛의 세기로 나눠야 한다.

• 분자: 단위시간당 흡수하는 에너지 (한 번 흡수할 때마다 )
• 분모: 단위면적·단위시간당 들어오는 에너지 (energy flux, 차원 = 에너지/(면적·시간))
• 비율의 차원 = 면적

직관: 원자를 빛을 가로막는 과녁으로 생각하면, 는 “이 면적에 떨어지는 빛은 전부 흡수된다”고 할 때의 유효 면적이다. 실제 원자 크기와는 다르고, 공명()에서는 원자보다 훨씬 커질 수 있다.

Energy flux of the radiation field

(5.319)로 field를 구하면, (5.309)에서

이므로 이고, 평면파에서는 (Gaussian units)이다. 시간 평균()을 취한 energy density는

빛은 속도 로 움직이므로 energy flux는 이다.

Result

분자 를 분모 로 나누면

핵심: 가 약분된다. 그래서 는 빛의 세기와 무관한, 원자 고유의 양이다. 정리하면

Dimension check

는 무차원이고, 는 시간 차원 를 가진다. 그러면

으로 면적이 맞다.

다음 절로

(5.320)의 matrix element에는 가 들어 있어서 계산이 어렵다. 5.8.2에서는 빛의 파장이 원자보다 훨씬 길다는 점을 이용해 이 지수함수를 1로 근사한다. (electric dipole approximation)

궁금한 내용

연관 학습 노트

• QM lecture note - Harmonic Perturbation and Detailed Balance
• QM lecture note - Constant Perturbation and Transition Rate
• QM lecture note - The Zeeman Effect

다음 강의

QM lecture note - Electric Dipole Approximation and TRK Sum Rule

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.8.1

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