QM lecture note - Constant Perturbation and Transition Rate

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Dyson Series & Transition Probability

오늘의 핵심

(Fermi’s golden rule)

필기 내용

Transition probability를 1st order correction으로 구한다

Perturbation이 에서 딱 켜진 상황.

가 시간에는 independent하지만, , , 등의 observable에는 dependent할 수 있다.
으로 두자. 이때 초기 상태는 의 eigenstate인 라고 두자.
지난 시간에 구한 식으로 을 계산해보자.

Recall:

원래 에서 였던 것이 으로 발견될 확률을 구한다면,

오늘의 주요 결과

에서 으로의 transition probability는 에도 dependent하지만, 에도 depend함을 알 수 있다.

전환되는 에너지가 연속적이고, 원 상태 에너지와 거의 비슷하다고 친다

Eigenstate와 eigenenergy가 거의 연속적으로 있다고 치자.
원래의 에너지, 에서 에너지 크기가 달라진 정도 를 변수로 따로 두자.
를 로 나누어서 각진동수로 만들고, 이것을 변수로 쓰자.

그러면 transition probability가 임을 알 수 있다.

즉, 가 0에 가까울 수록, transition 전화 후의 에너지 차이가 0에 가까운 상태들이 transition이 잘 일어나고, 그 이외 에너지 차이가 크면 transition이 잘 일어나지 않는 다는 것을 알 수 있다.

위 그래프는 고정된 에서 를 의 함수로 그린 것이다.
에 가장 큰 central peak가 있고, 첫 번째 zero는 , 즉 에서 생긴다. 따라서 central peak의 높이는 에, 폭은 에 비례한다.
즉, 시간이 지날 수록 디락델타랑 비슷해 진다. → 다른 에너지로 전환이 거의 불가능함.

time-energy uncertainty relation

Peak의 폭을 이용해서 transition이 유의미하게 일어나는 에너지 범위를 알 수 있다.

시간과 에너지 폭은 반비례 관계이다.
이를 , 로 보면 time-energy uncertainty relation 꼴이 된다.

여기서 의 의미

이 는 어떤 operator의 표준편차가 아니라, perturbation이 켜져 있던 시간이다. 시간이 짧으면 energy가 보존되지 않는 transition()도 꽤 일어나고, 시간이 길수록 인 transition만 살아남는다. 즉 에서 energy conservation이 회복된다.

, 즉 인 경우를 보자.

으로 근사.

확률이 으로 자란다. (물론 끝없이 자랄 수는 없고, 확률이 1에 가까워지기 전에 1차 perturbation theory가 깨진다.)

Density of states 와 적분한다

하지만 이건 한 state만 봤을 때의 이야기이다. Eigenenergy가 거의 연속적이면 central peak 안에 들어오는 state가 여러 개 있으므로, 이들을 모두 더한 total transition probability를 봐야 한다.

State가 거의 연속적이므로 합을 적분으로 바꾼다. 이를 위해 density of states 를 도입한다. 에너지 구간 안에 있는 state의 수가

이다. 그러면 합은 아래처럼 적분이 된다.

가 충분히 크면 피적분함수의 부분은 근처에만 값이 있는 날카로운 peak가 된다. 앞에서 본 것처럼 peak의 높이는 , 폭은 에 비례하므로 넓이는 에 비례한다. 따라서 이 peak를 delta function으로 근사할 수 있다.

이는 delta function의 아래 표현을 이용한 것이다.
Delta function을 만드는 여러 방법

, 로 두면

가 되어 위 식이 나온다.

이를 적분에 넣으면 delta function이 를 골라내므로

위의 bar는 근처의 final state들에 대해 를 평균한 값이라는 뜻이다.

시간에 대해 상수인 transition rate를 정의한다

중요한 점은 total transition probability가 이 아니라 에 비례한다는 것이다. 개별 state의 확률은 으로 자라지만, peak의 폭이 로 좁아지면서 기여하는 state의 수가 줄어들기 때문이다.
확률이 에 비례하므로, 단위 시간당 transition 확률인 transition rate를 정의할 수 있다.

을 계산하면, 그냥 t의 나머지 부분이 나오니까까 아래를 얻는다.

이 결과가 바로 Fermi’s golden rule이다. 여기서 은 인 final state들의 묶음을 뜻한다.
Transition rate가 시간에 무관한 상수라는 점에 주목하자. 즉 constant perturbation은 일정한 비율로 상태를 다른 state들로 옮긴다.

를 따로 빼지 않고 delta function으로 쓰면, 개별 state 으로의 rate를 아래처럼 쓸 수 있다. 실제로 쓸 때는 final state들에 대해 을 수행한다는 것을 전제한 표기이다.

Delta function이 energy conservation 를 강제함을 볼 수 있다.

같은 방법을 까지 확장하면 2차 항까지 포함한 transition rate를 얻는다.

1차 항 는 으로 직접 가는 transition이고, 2차 항은 중간 state 을 거쳐 으로 가는 transition이다. 중간 단계에서는 여도 되므로 energy conservation이 성립하지 않는다. 이런 중간 과정을 virtual transition이라고 부른다. Energy는 전체 과정의 처음과 끝에서만() 보존된다.
또한 1차 항과 2차 항이 절댓값 안에서 더해지므로, 두 경로 사이에 interference가 생긴다는 점도 주목하자.
(2차 항을 유도할 때, 에서 처럼 시간에 따라 빠르게 진동하는 항은 에서 rate에 기여하지 않으므로 버린다.)

궁금한 내용

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연관 학습 노트

References

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