QM lecture note - Dyson Series & Transition Probability

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - The Interaction Picture

오늘의 핵심

I-picture time evolution operator에 대한 슈방

저번에 구한 I-picture에서 ket에 대한 슈방에다가 ket자리에 time evolution operator를 넣으면 된다.

그저 위 식을 양 변을 통으로 적분.

이를 Dyson series로 전개하여 2차식 까지만 남기면 아래 식이 된다.

우변에 있는 1은 이를테면 적분 상수, 이라서 그렇다.

우린 여전히 인 setup에서 풀고 있다.
만약 가 에 대해 eigenstate라면, 는 아래와 같이 깔끔하게 나온다.
그저 를 의 eigen basis로 나타냈을 뿐.

위위 식을 집어넣으면,

아래 식이 앞으로의 강의 내용에서 정말 자주 쓰인다.

아래 식은 좀 덜 쓰인다.

필기 내용

지난 시간에 정의한 를 구하는 방법을 알아보자.
Exact solution이 없는 경우, 에 대한 approximation을 구하는 수밖에 없다.

Perturbation의 세기에 대한 0차항.. 1차항… 2차항을 의미한다.

, , 등을 구하기 위해서는, 일단 time evolution operator의 근사식을 알아야 한다.

Time evolution operator 구하기

Interaction picture에서 time evolution operator 는 아래와 같이 기능한다.

위 식을 에다가 넣으면 에 대한 방정식을 얻을 수 있다.
기존에 알던 식과 비교해 보아라.

다른 observable operator와 달리, time evolution operator는 I-picture에서 에 의해 time evolution한다는 것을 알 수 있다.
이는 가 observable처럼 꼴로 변환된 operator가 아니기 때문이다. 실제 관계는 양쪽의 시간이 다르다.

정의에 의해 당연히, 시간이 옮겨지지 않으면 time evolution operator는 identity operator여야 한다.

를 아니까 미방 에 대해 solution을 구할 수 있다.
그저 방정식을 적분 형태로 바꿀 뿐이지만…

문제는 위 식이 풀기가 힘들다는 것이다.
그래서 적분을 재귀적으로 하여 근사식을 구하는 꼼수를 쓴다.
위 식의 적분식 안에 (적분 인자가 으로 바뀌었음에 주목하라.) 를 대입하면,

위 식을 전개하는 중에, 빨간 밑줄을 친 을 계산해야 하는데,
또 다시 꼴로 치환한다.
을 버리면 (버리는 항은 가 세 번 곱해진 3차 항이므로, 2차까지의 근사에서는 무시할 수 있다), 결국

가 되므로!

최종적으로 에 대한 근사식을 구하면 아래가 된다.

이렇게 적분 식을 재귀적으로 넣어서 전개한 식을 Dyson series라고 부른다.
원래 Dyson series는 이 과정을 끝없이 반복한 무한급수이고 그 자체로는 exact하다. 위 식은 이를 2차까지 자른 것이다.

Operator 순서

2차 항 에서 이므로, 나중 시간의 operator가 왼쪽에 온다. 서로 다른 시간의 는 일반적으로 commute하지 않으므로 이 순서를 바꿀 수 없다. (→ time-ordering)

근사식 구하기 (교재하고 index가 다름, 내용은 같음)

state index로 쓰는 거 너무 싫어…

맨 처음 식 에다가 을 대입.

양 변에 을 곱한다.

가 일반적인 state라면 위 식으로 를 구해야 한다.
만약, 가 초기에 에 대한 eigenstate라면,

이므로,

이렇게 된다!
이후 에서 을 중간 상태의 합 index로 쓰기 위해, 자유 index를 으로 바꿔 쓰자.

여기에다가 을 대입하면, 드디어 원하던 것을 얻는다.

Recall:



의 은 에서 두 사이에 completeness relation 을 끼워 넣어 생긴 것이다.

궁금한 내용

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QM lecture note - Constant Perturbation and Transition Rate