QM lecture note - The Interaction Picture

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

오늘의 핵심

Interaction picture에서 ket과 operator 표현

Interaction picture는 total Hamiltonian()에 의한 시간 진화를 에 의한 부분과 에 의한 부분으로 나눈 방식이다.
Ket은 에 의해서만 시간 진화, operator는 에 의해서만 시간진화

반대로 하이젠베르크 관점 (H-picture)에서 정의하면, H-picture에서 시간에 independent하게 정의한 state를 를 이용해 시간진화하면 된다.

Interaction picture에서 ket의 슈방, 로 time evolution

→ 그냥 가 아니라 이다.

I-picture에서 operator의 슈방, 로 time evolution

Time-dependent perturbation theory에서 문제 정의

를 에 대해 구하라.

슈방을 여차저차해서 얻은 에 대한 미방

필기 내용

도입

시간에 따라 perturbation이 달라지는 문제를 푼다.

관심있는 임의의 상태 가 시간이 지나면 어떻게 변할까?
초기 상태의 를 초기 의 eigenstate를 이용해 나타낸다.

시간이 지났을 때 가 아래와 같이 쓰인다고 보자.

Perturbation이 없을 때는 이라는 것을 생각하자.
만약 perturbation이 없다면, 일 것이다.
이 constant function이 아니라 시간에 따라 변하는 함수인 것은 오직 의 영향이다.

우리의 목표는 문제를 위와 같이 세팅했을 때 ==를 구하는 것이다.==
따라서 time evolution operator를 에 의한 부분과 에 의한 부분을 분리할 필요가 있다.

Interaction picture

, 즉 초기 상태에서는 모든 picture에서 같음을 기억
(이 정의는 을 전제한다. 이면 에서 가 되어 picture들이 일치하지 않는다.)

Interaction picture에서 ket은 이렇게 정의된다.

S-picture에서 상태를 operator에 의한 time evolution 을 무효화시켰다는 걸 알 수 있다.

이 임의의 ket과 임의의 operator 에 대해 성립해야 하므로, 와 의 관계는:
이고, 역으로

특히 perturbation에 대해서,

이제 슈방을 I-picture로 다시 쓸 수 있다.

위 식 전개에서.. 어려운 건 없는 것 같다. 첫번째 줄에서 미분할 때 곱의 미분 신경쓰고, 의 시간 미분에서 오리지널 슈방을 쓰고, 의 꼴로 나타내기 위해 마지막줄 처럼 식을 고쳐주면 된다.

앞서 는 로 인해 time evolution을 한다고 예고한 것과 상통하게, 슈방은 아래와 같이 쓰인다.

원래 가 있던 자리에 가 있는 것을 볼 수 있다.

또한, 의 양 변을 미분하고 정리하면 operator의 슈방을 구할 수 있다.

원래 알던 식인 와 비교해 보아라. 앞서 예고했듯, I-picture에서 operator는 에 의해 time evolution함을 알 수 있다.

에 대한 방정식

도입부에서 본 에 양 변에 을 곱하면 I-picture로 나타낼 수 있다.

에 대해 깔끔하게 정리된다.
라는 걸 알 수 있다.
슈방을 정리하자. 의 양 변에 을 곱하면, 을 시간 미분 해보았자 0이라는 점을 이용해서 아래 식이 나온다. 우변에는 와 ket 사이에 completeness relation 을 끼워 넣었다.

위 식에서 좌변은 와 같다.
우변에다가 를 넣어 정리하면,

둘째 줄에서 셋째 줄로 갈 때는 의 eigenket에 대해 , 을 이용했다. 마지막 줄은 로 에 대한 합을 수행한 결과이다.

은 가 아니라 의 matrix element!

여기서 은 Schrödinger picture의 perturbation 로 만든 matrix element이다.

반면 I-picture의 로 만든 matrix element는 phase factor까지 포함한 전체이다.

즉 는 에 의한 시간 진화를 I-picture로 옮기면서 생긴 인자이다. 둘을 혼동하지 말 것.
또한 자체가 시간 의존이므로 도 일반적으로 의 함수이다.

과 basis state의 에너지 차이로 인한 frequency를 앞으로 아래와 같이 쓰겠다.

그럼 정리하던 식은 이렇게 에 대한 1차 시간 미분 방정식이 된다.

행렬 표현으로 쓰면,

궁금한 내용

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AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

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