양자 필기 - Spin-Orbit Coupling and Fine Structure

비공식 자료, 책임 안 짐

이것은 양자물리 (학부용, Griffiths) 강의를 듣고 TA가 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
교수님께서 검토하신 자료가 아니므로, 전문성을 보장하지 않습니다.

지난 강의

• 양자 필기 - Relativistic Correction to Hydrogen (Griffiths 7.3 도입, 7.3.1)

오늘의 핵심

정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
AI한테 시켜도 되는데 추천은 안 함.

기호 정리

Symbol	Meaning
	전자의 rest frame에서 양성자가 만드는 magnetic field
	Magnetic dipole moment, 전자의 magnetic dipole moment
	Orbital, spin, total angular momentum ()
	궤도 주기 (이 노트에서는 kinetic energy가 아님)
	g-factor,
	Spin-orbit interaction
	Total angular momentum quantum number와 그 성분
	Spin-orbit, fine structure의 first-order energy

필기 내용

1. 물리적 그림

전자 입장에서 보면 양성자가 전자 주위를 돈다 (Figure 7.6). 궤도 운동하는 양전하는 전자의 rest frame에서 magnetic field 를 만들고, 이 field가 spin하는 전자의 magnetic moment 에 torque를 가해 field 방향으로 정렬시키려 한다. Hamiltonian은

계산해야할 것은 두 가지다: 양성자의 공전이 만드는는 와 전자의 .

2. 양성자가 만드는 magnetic field (양자역학 없음, 순수 고전 전기역학)

양성자를 (전자 입장에서) 연속적인 current loop로 보면, Biot–Savart law에서 loop 중심의 field는

한편 핵의 rest frame에서 전자의 orbital angular momentum은

전자의 rest frame에서 핵의 각운동량 벡터의 방향은 의 방향과 같다.

따라서 와 은 같은 방향(Figure 7.6에서 위쪽)을 향하므로, 를 넣고 로 를 없애면

3. 전자의 magnetic dipole moment

고전 계산: 전자의 스핀을 고전적으로 해석하면 전하를 띤 입자가 공간에서 회전하는 것이다.
동그란 공이 돌아가는데, 공 표면에 전하가 고르게 분포해 있다고 가정하자. 이 공의 magnetic dipole moment를 구하자.

Magnetic dipole moment는 current × area, angular momentum(여기선 스핀 )은 moment of inertia × angular velocity이므로

Gyromagnetic ratio는 으로 , 와 무관하다. 구처럼 더 복잡한 figure of revolution도 고리로 잘라 더하면, 전하와 질량이 같은 방식으로 분포하는 한 같은 비율을 가진다.

실제 전자의 magnetic moment는 고전값의 두 배다.

이 “extra” factor 2는 Dirac의 relativistic theory로 설명된다.

g-factor (footnote 14) → 으악 대학원 양자 2 시험 범위야

고전 기대값과의 차이를 g-factor로 나타낸다: . Dirac theory에서 전자의 는 정확히 2이지만, quantum electrodynamics는 작은 보정을 준다: 이것이 anomalous magnetic moment이고, 그 계산과 측정의 일치는 20세기 물리학의 가장 큰 성취 중 하나다.

4. 합치기, 그리고 Thomas precession

(1), (4), (7)을 합치면

그런데 이 계산에는 심각한 fraud가 있다. 전자의 rest frame은 궤도 운동하며 가속하는 non-inertial frame이다. 이를 보정하는 kinematic correction이 Thomas precession이고, 여기서는 factor 을 준다. 이게 왜 인지는 내용이 양자역학의 범위를 넘어서서 생략.

이것이 spin-orbit interaction이다. 전자의 modified gyromagnetic ratio(×2)와 Thomas precession factor(×1/2)가 우연히 정확히 상쇄되므로, 결과는 순진한 고전 모델에서 기대하는 것과 같다. 물리적으로는 전자의 순간적인 rest frame에서 양성자의 magnetic field가 전자의 magnetic dipole moment에 가하는 torque 때문이다.

5. Quantum mechanics: 이번엔 good states가 바뀐다

Spin-orbit coupling이 있으면 해밀토니안에 이 있기 때문에
Hamiltonian이 더 이상 , 와 commute하지 않는다. 즉 spin과 orbital angular momentum이 따로 보존되지 않는다 (Problem 7.19, HW2에서 직접 확인).
그러나 는 , , 그리고 total angular momentum

와는 commute하므로, 이 양들은 보존된다. 바꿔 말하면

Good states

, 의 eigenstate는 good state가 아니다. , , , 의 eigenstate가 good state다.

이므로

따라서 의 eigenvalue는

이고, 전자는 이다. 한편 의 기댓값은 (Problem 7.43)

footnote 17

Problem 7.43은 , 즉 eigenstate로 기댓값을 계산하지만, 지금 필요한 것은 eigenstate다. eigenstate는 인 state들의 linear combination인데, 가 과 무관하므로 상관없다.

6. Spin-orbit energy

으로 표현하면

은? (footnote 18)

이면 분모가 0이지만, 이때 이라 분자도 0이어서 (15)는 indeterminate하다. 물리적으로 이면 spin-orbit coupling이 없어야 한다. 어쨌든 spin-orbit을 relativistic correction과 더하면 문제가 사라지고, 합 (16)은 모든 에서 맞다. 불안하다면, (nonrelativistic) Schrödinger equation 대신 (relativistic) Dirac equation으로 exact solution을 구하면 같은 결과가 나온다는 사실에서 위안을 얻자 (Problem 7.22).

7. Fine structure formula

완전히 다른 물리적 mechanism인데도 relativistic correction과 spin-orbit coupling이 같은 order 라는 것은 놀랍다. 둘을 더하면 (Problem 7.20)

이 사라지고 만 남았다. Bohr formula와 결합하면 fine structure를 포함한 수소 에너지 준위의 grand result:

8. 결과의 해석 (Figure 7.8)

• Fine structure는 degeneracy를 깬다. 주어진 에서 서로 다른 이 모두 같은 에너지를 가지지는 않는다.
• 그러나 degeneracy는 유지한다. 같은 , 같은 면 이 달라도 에너지가 같다.
• Figure 7.8: 각 준위가 가능한 값의 개수만큼 갈라진다. 은 하나, 는 , 은 , 는 .
• Orbital과 spin의 성분 , 는 더 이상 good quantum number가 아니다. Stationary state는 이 값들이 서로 다른 state들의 linear combination이다. **Good quantum numbers는 **다.
• (주어진 , )를 의 linear combination으로 쓰려면 Clebsch–Gordan coefficient를 쓴다 (footnote 19).

9. 관련 연습문제

• Problem 7.19: Commutator 계산: , , , , , .
• Problem 7.20: (15)와 relativistic correction으로부터 (16) 유도. 두 경우를 따로 계산하면 같은 결과가 나온다.
• Problem 7.21: Red Balmer line ()이 fine structure로 몇 개의 선으로 갈라지는지, 인접한 선 사이의 frequency 간격은 얼마인지.
• Problem 7.22: Dirac equation의 exact fine structure formula를 까지 전개해 (17)을 재현.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

1. 왜 uncoupled basis 에서는 가 diagonal이 아닌가

를 ladder operator로 풀어 쓰면

둘째 항의 는 를 로 바꾼다. 즉 과 를 각각은 바꾸지만 합 는 보존한다. 그래서 uncoupled basis에서 는 off-diagonal element를 가지고, 반대로 (11) 덕분에 coupled basis 에서는 , , 가 모두 숫자가 되어 행렬 계산 없이 끝난다. 양자 필기 - Good States in Degenerate Perturbation Theory의 표에서 “spin-orbit coupling → “가 이 뜻이다.

2. 준위로 보는 fine structure의 모양

Spectroscopic notation ()로 쓰면, 에는 , , 가 있다. (17)은 에만 의존하므로 와 는 정확히 같은 에너지로 남고 만 위에 있다. 이 남은 degeneracy를 깨는 것이 다음 계층인 Lamb shift ()이고, 이 둘의 차이를 측정한 Lamb–Retherford 실험이 QED 발전의 출발점이 되었다. 또 이므로 fine structure는 모든 준위를 Bohr 값보다 낮춘다.

3. 문제와 Darwin term

Footnote 18의 불편함은 Dirac equation을 까지 전개하면 해결된다. 그러면 relativistic correction, spin-orbit 외에 세 번째 항인 Darwin term이 나온다.

Delta function이라 인 state에만 기여하는데, 그 값이 마침 spin-orbit 식 (15)에 , 를 형식적으로 넣었을 때의 값과 같다. 그래서 Griffiths처럼 “에서도 (16)이 맞다”고 할 수 있는 것이다. 자세한 내용은 Sakurai 5.17 - Darwin Term and Fine Structure 참고.

연관 학습 노트

• 양자물리 (학부용, Griffiths)
• 양자 필기 - Relativistic Correction to Hydrogen
• 양자 필기 - Good States in Degenerate Perturbation Theory
• QM lecture note - Addition of Angular Momentum and CG Coefficients
• QM lecture note - Two-Component Spinor and Rotation Operator
• Sakurai 5.17 - Darwin Term and Fine Structure

References

• Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.), Section 7.3.2 (Figures 7.6–7.8), footnotes 14–19, Problems 7.19–7.22

다음 강의

• 양자 필기 - Weak-Field Zeeman Effect (Griffiths 7.4 도입, 7.4.1)

필기 원본

손필기 없음. Griffiths 교재 본문을 바탕으로 정리함.