J, L, S operator and selection rule

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관련 노트

과목 노트: 양자물리 (학부용, Griffiths)
Sakurai 정리: QM lecture note - Rotation and Angular Momentum
아..큰일났다! 1학기 내용 다 까먹었다!
이 노트 내용을 알면 2학기 중간고사 공부가 쉬워질 것이다.

Symbol	Meaning
	total angular momentum, 일반적인 rotation generator
	orbital angular momentum,
	spin angular momentum
	, 의 eigenvalue를 나타내는 quantum number
	ladder operator
	ladder operator를 작용할 때 붙는 계수
	rotation operator
	rank spherical tensor operator의 성분
	reduced matrix element
	parity operator
	Clebsch–Gordan coefficient

의 의미를 처음부터 고민해보자

Operator 는 무엇인가?

operator는 일반적인 회전의 생성자이다. (rotation generator)
나중에 자세히 이야기하겠지만, 는 과 의 합(sum) 이다.
과 는 서로 다른 공간에서 회전을 만든다. 정확히는 두 공간의 tensor product 위에서

논의를 3차원에서의 회전으로 한정해 보자. 이렇게 벡터가 세 가지 요소로 이루어져 있다.
operator는 다음 commutation relation을 만족해야 한다.

특이한 점은, 위 성질을 만족하는 의 matrix가 , , , … 임의의 크기로 존재한다는 것이다. (아래에서 유도한다.)

의 eigenket

아주 순수한 생각을 할 수 있다. Position eigenket을 정의할 때와 비슷하게, 의 eigen ket을 이렇게 세 개의 eigenvalue를 가진 ket으로 정의해도 되지 않나?

그러나 이렇게 하면 들이 서로 commute하지 않기 때문에 문제가 벌어진다.
예를 들어,

이것은 와 모순이다. 원래대로라면 가 되어야 하기 때문이다.
모순을 피하려면 이어야 하고, 같은 논리를 다른 commutator에 적용하면 이 된다. 즉 이런 simultaneous eigenket은 인 trivial한 상태밖에 없다.

이런 문제를 막기 위해, simultaneous eigenket은 서로 commute하는 operator의 eigenvalue 조합으로 정의해야 한다.

그래서 우리는 보통 의 eigenket으로 와 의 eigenket을 사용한다.
왜냐면 모든 에 대해 이기 때문이다.

잠깐동안 아래 성질을 가지는 eigenket 를 사용하자.

Ladder operator

이런 operator를 일단 정의해 두면, 이게 에 작용될 때 값을 바꾼다는 걸 commutation relation으로 유도할 수 있다. ()

가 여전히 의 eigenket이면서, eigenvalue는 라는 걸 알 수 있다.
Eigenvalue를 씩 오르내릴 수 있으므로 를 ladder operator라고 부른다.

덧붙여, 는 여전히 의 eigenket이기도 하다.
당연하다. 이기 때문이다.

을 에 적용하면

값이 보존된다는 것을 알 수 있다.
이를 이용해서, 에다가 를 어떤 조합으로 적용해도 값을 바꿀 수 없음을 알 수 있다.

임을 이용하고, 가 값을 보존한다는 걸 생각하면… 당연한 결과다.
(는 각운동량의 크기와 직결된다. 회전 연산은 각운동량의 크기를 보존한다. 좌표 축을 어떻게 돌려서 관찰하든, 물체의 회전 속도는 같으니까.)

가 여전히 eigenket임은 알지만, 변환될 때 계수가 어떻게 붙는지는 아직 모른다.

는 나중에 유도한다.

의 증명

와 는 서로 무관하지 않다.
Commutation relation에 따라오는 아래 식을 이용하면,

이것의 기댓값을 구하면,

우변의 은 의 norm 제곱과 의 norm 제곱의 합이므로 무조건 이다.

따라서:

와 는 실수이므로 , 즉 는 음수가 될 수 없고

이렇게 의 값은 로 인해 상한과 하한이 결정된다.

와 의 결정

그러면 와 가 뭔지 알아보자.

가능한 의 값 중에서 최대 값을 가진 ket을 상정해 보자.
이것을 raising operator로 올리면, 그냥 0, 상태가 없어진다.

를 에 대해 나타낼 수 있다.

이를 아까 상정한 ket에 적용하면,

같은 전개로:

두 식을 비교하면 이고, 이 식의 해는 와 두 개다.
후자는 에 모순이므로 버린다.

Ladder operator는 값을 씩 바꾸기 때문에, 에서 출발해 를 반복해서 걸면 정확히 에 도달해야 한다. (그렇지 않으면 를 지나쳐 버려 이 깨진다.)
따라서 ()이고, 가 가질 수 있는 값은 총 가지이다.

이제 양자수 를 정의할 수 있다

로 구별 가능한 상태의 수는 개이다. 이 의 절반을 양자수 로 정의하자.

이 홀수면 는 half integer, 짝수면 는 integer. 총 개의 state가 존재.

는 총 각운동량의 크기를 나타내기도 한다.

양자수

를 이용해 양자수 을 정의하자.

정리하면, 각운동량에 대한 eigenket을 이렇게 정의할 수 있다.

의 결정 (Raising operator)

아까 제대로 알아내지 못 했던 ladder operator를 사용했을 때 붙는 계수를 이제 구해 보자.

양 변에 를 적용하면,

을 두 가지 방법으로 계산할 수 있다.
하나는 두 ladder operator가 서로 hermitian conjugate임을 이용하는 것이다. 이므로

다른 하나는 앞서 유도한 을 이용하는 것이다.

두 결과를 비교하면 이다.
의 phase는 정해지지 않는데, 관례적으로 양의 실수로 고른다. (Condon–Shortley phase convention)

의 결정 (Lowering operator)

비슷한 방식으로:

일반식

이면 , 이면 이 되어 사다리가 양 끝에서 자연스럽게 끊긴다.

, , 의 행렬 원소

서로 다른 eigenket을 샌드위치

Total Angular Momentum을 바꾸지 않는 이유

은 total angular momentum을 바꾸지 않는다. 논리의 순서는 이렇다.
모든 성분에 대해 이므로, 들로 만들어진 rotation operator

와도 이다.
따라서 과 은 에 대해 똑같은 eigenvalue 을 가진다.
회전은 같은 안의 개 상태끼리만 섞을 뿐, 다른 로 넘어가지 않는다.

이 관계는 선운동에서 translation operator를 적용해도 momentum이 바뀌지 않는 것과 비슷하다. ()

반정수 와 정수

아까 commutation relation만으로 유도한 결과에서는 가 모두 허용되었다.
그런데 algebra가 허용한다고 해서 모든 가 실제로 나타나는 것은 아니다.
가 무엇에 작용하는가에 따라 허용되는 가 갈린다.

: 정수만 허용된다

는 로 구체적으로 만들어진 operator이고, 공간 위의 wavefunction 에 미분 연산자로 작용한다.
Spherical coordinate에서

이므로 eigenfunction은 이다.
Wavefunction은 에서 원래대로 돌아와야 하므로 은 정수여야 하고, 따라서 도 정수만 허용된다.

: 반정수도 허용된다

는 로 만들어진 게 아니라 commutation relation만으로 정의된 operator이다.
따라서 algebra가 허용하는 반정수 를 막을 이유가 없다.
이면 (Pauli matrix)이다.

반정수 spin의 가장 이상한 성질: 회전에서 부호가 바뀐다.

원래 상태로 돌아오려면 회전이 필요하다.
공간 wavefunction이었다면 이런 일은 허용되지 않는다. 이것이 spin을 “공간 속 무언가의 자전”으로 해석할 수 없는 이유이다.

SU(2)와 SO(3)

• SU(2)와 SO(3) group이 무엇인지 지금 자세히 알 필요는 없다. 그냥 이 두 가지 개념(연산의 집합)이 있다는 것을 알면 된다.
• Group 수준에서는 다르다. SU(2)는 SO(3)의 double cover이다. SU(2)의 원소 와 가 같은 SO(3) 회전 하나에 대응한다. 이 성질이 위에서 본 예시, spin은 를 돌아야 원래대로 돌아오는 현상을 설명한다.
• 정수 표현은 SO(3)의 표현이기도 하다. ( 회전 = identity)
• 반정수 표현은 SU(2)의 표현이다.

	행렬 크기	예시	Group
		orbital, spin-0 입자	SO(3), SU(2)
		전자 spin	SU(2)만
		orbital (), photon spin	SO(3), SU(2)
		과 의 결합 ()	SU(2)만

과 는 회전시키는 대상이 다르다

둘 다 같은 algebra를 만족하는 rotation generator인데, 차이는 무엇을 회전시키느냐에 있다.

화살표가 그려진 바람 지도를 돌린다고 생각해 보자. 지도를 회전시키면 두 가지 일이 동시에 일어난다.

1. 각 화살표가 새로운 위치로 옮겨간다.
2. 화살표 자체의 방향도 돌아간다.

둘 중 하나만 하면 회전된 지도가 아니다. Vector field 로 쓰면

그림을 이용해서 이해해보자.

• 에서 , 이것은 화살표의 ‘위치’를 바꾸는 연산이다. 이것을 generate하는 것이 이라고 비유할 수 있다.
• 은 화살표의 방향을 바꾸는 연산이다. 즉 화살표의 성분(component, 여기서는 )끼리 섞는 부분을 generate하는 것이 라고 비유할 수 있다.

Hilbert space로 말하면

이고, 은 앞쪽(공간 wavefunction, 위치로 나타낼 수 있는 것)에만, 는 뒤쪽(자유도, 위치와 무관한 것)에만 작용한다. 두 연산이 노는 공간이 아예 구변되어 있으므로, 이다.
전자의 spinor 에서 을 건드리는 게 , spin index 를 건드리는 게 이다.

작용하는 곳	공간 wavefunction	내부 성분
구성	(미분 연산자)	행렬 (algebra로만 정의)
허용 값	정수	정수 또는 반정수
표현 공간 크기	같은 이 무한히 많은 radial 함수와 결합	입자마다 고정된 유한 차원

무엇이 보존되는가: spin-orbit coupling

회전 대칭이 있는 계에서 보존되는 것은 원칙적으로 뿐이다.
과 가 각각 보존되려면 Hamiltonian이 공간 회전과 내부 회전을 따로따로 해도 불변이어야 한다.

Spin-orbit coupling 는 두 회전을 함께 할 때만 불변이다.

그래서 fine structure에서는 대신 가 good quantum number가 된다.
Zeeman effect의 weak/strong field 구분도 결국 “외부 자기장이 과 를 따로 붙잡을 만큼 센가”의 문제이다.

• 양자 필기 - Spin-Orbit Coupling and Fine Structure
• 양자 필기 - Weak-Field Zeeman Effect
• 양자 필기 - Strong-Field Zeeman Effect

Angular momentum addition과 Clebsch–Gordan coefficient

두 각운동량을 함께 고려해야 하는 때가 있다.
예를 들어 전자 하나의 오비탈 각운동량과 스핀 각운동량을 함께 고려한다거나,
두 입자의 spin을 고려하는 상황을 생각해 보자.

아무튼 서로 구별되는 두 회전 상태로 이루어지는 ket space를 각각 ‘1의 공간’과 ‘2의 공간’이라고 지칭하자. 1의 공간은 양자수가 이고, 양자수가 부터 까지 정수 간격으로 있는, 즉 을 basis ket으로 가지는 공간이다.
2의 공간도 마찬가지이며, 차원이다.

연산자는 1의 공간에만 작용하며, 마찬가지로 는 2의 공간에만 작용한다.
두 연산자가 노는 공간이 다르기 때문에, 둘은 항상 commute한다.
물론 와 각자는 엄연히 각운동량 연산자이기 때문에 아래와 같은 commutation relation을 가진다.

1과 2가 함께 있는 시스템 “전체” 각운동량 연산자 는 이렇게 정의된다.

더 엄밀히 하자면, 과 연산자가 적용되는 공간이 별개이기 때문에
아래와 같이 텐서곱을 이용해 표현하는 것이 옳다.

는 다시 를 만족하는 각운동량이다.

로 분리된 왼쪽과 오른쪽 자리는 각각 1의 공간과 2의 공간을 의미한다.
라는 연산자는 1의 공간에는 가 작용하며, 2의 공간에는 identity operator가 작용하는 (즉 아무 변화를 일으키지 않는) 그런 것이다.

벡터의 각 성분에 대해 아래가 성립한다.

을 제곱하면,

(을 로 합칠 수 있는 것은 두 연산자가 commute하기 때문이다.)

항이 있기 때문에, 전체 각운동량의 크기 는 단순히 1과 2 각자의 각운동량 크기의 합()이 아니라는 것을 알 수 있다.

두 개의 basis

두 각운동량이 사는 차원 공간에는 자연스러운 basis가 두 개 있다.

Uncoupled basis: 의 simultaneous eigenket

1과 2 각자의 각운동량 크기와, 각자의 방향 각운동량을 이용
그저 앞서 말한 1의 공간에 사는 ket과 2의 공간에 사는 ket을 하나하나씩 가능한 모든 조합으로 텐서곱한 것이다.

굳이 이 ket의 eigen value를 써보자면,

Coupled basis: 의 simultaneous eigenket

1과 2 각자의 각운동량 크기와, 전체 각운동량 크기, 전체 방향 각운동량을 이용

굳이 이 ket의 eigen value를 써보자면,

두 세트를 섞을 수는 없다. 이고 가 , 를 포함하므로 이기 때문이다.
앞에서 를 동시에 대각화할 수 없었던 것과 같은 이야기다.

이것 저것 계산해보자

그러면 만약, 연산자와 eigenket이 아닌 ket을 계산하고 싶다면 어떻게 해야하나?

이런 것들 말이다.
일단 하나하나씩 할 수 있는 데 까지 계산해보자.

은 의 eigenket이 아니다. 그치만 은 계산 가능하다

위는 을 계산하는 것이 문제인데, 이를 풀어 써보면,

와 는 raising operator 와 lowering operator 의 조합이라서, 을 바꾼 상태들을 섞는다는 걸 상기해보자.
이 시점에서 는 의 eigenket이 아니라는 것을 알 수 있다.

그래도, 을 이용해 또 꾸역꾸역 계산을 해 보면?

이를 에 작용시키고, 앞에서 구한 ladder 계수 를 쓰면

라는 것을 알 수 있다.
자신 말고도 다른 두 상태가 섞여 나오므로, 확실히 eigenket이 아니다.

그런데 섞여 나오는 세 상태는 모두 가 같다.
즉 는 가 같은 상태끼리만 섞는다. 연산은 전체 방향 각운동량을 보존한다.
따라서 의 eigenket인 coupled state 도 인 uncoupled state들만의 선형 결합으로 쓸 수 있을 것이다. (뒤에 나오는 CG coefficient의 성질 의 직관적인 이유)

은 의 eigenket이기도 하다.

다른 것 계산에 도전해보자.

어랏? 은 의 eigenket임을 알 수 있다. 이기 때문에 당연하다.
그래서 만약 원한다면, ket의 특성으로 이 세 값 중 두 개를 특정하면 와 사실상 같은 기능의 eigenket을 정의할 수 있다.

을 계산하다보면 CG coefficient의 필요성을 알게 된다

그 다음 문제에 도전해보자.

를 이용할 수 없다.
도저히 계산할 수 없다! 어쩌지?
이럴 때는, 를 의 선형 합으로 나타내어 계산하는 수 밖에 없다.
즉, basis를 바꾸는 것이다.

그러면… 두 basis를 변환할 때 필요한 계수가 뭐지?
이것이 CG coefficient 정의의 출발점이다.

CG coefficient의 정의

두 basis 사이의 unitary 변환 행렬 원소가 Clebsch–Gordan coefficient이다.

Identity operator 를 이렇게 모든 basis의 ket-bra를 합한 것으로 정의할 수 있다는 사실을 기억하자.
이를 이용하면,

을 의 선형 합으로 나타낼 때, 가 계수 역할을 한다는 걸 알 수 있다. 이걸 바로 CG coefficient라고 한다.

역으로 을 의 합으로 나타내고 싶을 때,
를 이용하면

CG coefficient의 성질

1. , 방향 각운동량 보존

을 와 사이에 끼우면

따라서 이면 CG coefficient는 0이다.

2. Triangle inequality, 의 범위는 과 로 결정된다

차원을 세어서 확인할 수 있다. 라 하면

양쪽 basis의 상태 수가 정확히 같다.

신기한 걸 보여주지. 위 식이 성립함을 시각적으로 보일 수 있다.

3. Phase convention과 실수성

CG coefficient의 전체 phase는 지금까지의 정의만으로는 정해지지 않는다.
그런 자유도는 관습상 고정해 둔다. Condon–Shortley convention에서는

• ladder 계수 를 양의 실수로 고르고
• 으로 정한다.

이렇게 하면 모든 CG coefficient가 실수가 된다.

4. Orthogonality

Unitary(실수이므로 orthogonal) 변환이므로

증명 → 중간에 있는 ket bra를 뒤집어 identity operator를 만든다.

5. Recursion relation

를 양쪽에 작용시키고 노트 앞부분의 를 쓰면

(는 표기에서 생략.)
이 식 하나로 모든 CG coefficient를 계산할 수 있다. Wigner–Eckart theorem에서 의 행렬 원소가 만족하는 recursion relation이 바로 이것과 같아서 CG coefficient가 나오는 것이다.

계산 절차

절차 자체는 네 단계뿐이다. 각 단계를 하나의 예시로 끝까지 따라가 보자.

따라갈 예시: ,

orbital ()과 전자 spin ()을 합치는 경우다.
표기를 줄이기 위해 는 생략하고

• uncoupled: , 특히 은 로 쓴다. 예)
• coupled: . 예)

상태 수는 개이고, triangle inequality에 의해 (4개)와 (2개)로 나뉜다.

0단계: 지도 그리기 (별로 상태 정리)

본격적으로 계산하기 전에, uncoupled 상태를 값별로 묶어 두자.
는 이 같은 상태끼리만 섞으므로, 이 묶음 안에서만 계산하면 된다.

	uncoupled 상태	개수	이 을 가지는
		1
	,	2	,
	,	2	,
		1

개수 열을 보면 구조가 보인다.

• 맨 위 는 1개뿐이다 → 사다리의 꼭대기
• 한 칸 내려오면 2개가 된다 → 하나는 사다리의 일부, 새로 늘어난 하나가 사다리의 꼭대기

일반적으로 이 한 칸 내려갈 때마다 상태가 하나 늘어나면, 그만큼 새로운 사다리가 시작된다는 뜻이다.

1단계: 맨 위에서 시작

인 상태는 uncoupled basis에서 하나뿐이므로 바로 알 수 있다.

두 각운동량이 모두 축 방향으로 최대로 정렬된 상태이므로, 합성된 각운동량도 최대일 수밖에 없다.

예시

인 상태는 하나뿐이다.

2단계: 로 내려가기

를 반복 적용해 인 모든 상태를 얻는다.
요령은 같은 연산자 를 coupled 표기와 uncoupled 표기로 각각 작용시키는 것이다.

• 왼쪽(coupled):
• 오른쪽(uncoupled): , 각 공간에 따로 작용

두 결과가 같은 상태이므로, 양변을 비교하면 을 uncoupled 상태로 쓸 수 있다.
계수는 노트 앞에서 구한

를 이용한다.

예시: 구하기

왼쪽: 이므로

오른쪽: 는 만, 는 만 내린다.

비교: 양변을 로 나누면

계수의 제곱합이 로, 정규화가 자동으로 맞는다.

같은 일을 한 번 더 반복한다.

예시: 구하기

왼쪽:

오른쪽: 두 항에 각각 를 작용시킨다.

• (은 더 내릴 수 없다)

비교: 로 나누면

맨 아래에 도달하면 다시 하나뿐인 상태가 나온다.

예시:

이고, 같은 계산을 하면

1단계와 대칭적으로, 두 각운동량이 모두 방향으로 정렬된 상태다. (검산용으로 좋다.)

이렇게 사다리 4개를 모두 얻었다.

3단계: 다음 는 orthogonality로

인 상태는 2차원이다.
그중 하나는 2단계에서 이미 얻었다.
남은 하나는 그것과 직교하는 방향이고, 그것이 다음 사다리의 꼭대기 이다.
(서로 다른 의 eigenket은 의 서로 다른 eigenvalue에 속하므로 반드시 직교한다.)

직교 조건과 정규화만으로는 전체 부호 가 남는다. 이건 Condon–Shortley convention으로 고정한다.

즉 “이 최대인 uncoupled 상태의 계수를 양수로” 고른다.

예시: 구하기

묶음은 , 두 개로 이루어진 2차원 공간이다.
미지의 상태를 로 두자.

직교 조건: 와 직교해야 하므로

정규화: 이므로

부호 결정: 이 최대()인 상태는 이므로 이 되도록 고른다.

2차원 평면에서 벡터를 90° 돌린 것이라고 생각하면 기억하기 쉽다. 계수 가 로 바뀐다.

4단계: 다시 로 내려가고, 반복한다

새 사다리의 꼭대기를 얻었으니 2단계와 똑같이 로 내려간다.

예시: 구하기

왼쪽:

오른쪽: 2단계에서 계산해 둔 , 를 그대로 재활용한다.

비교: 로 나누면

검산: 와의 내적은 이다. 다른 끼리 직교하는 것이 확인된다.

에 도달했으므로 여기서 끝이다. 6개 상태를 모두 얻었다.

일반적인 경우에는 이 과정이 더 길어진다.
예를 들어 묶음은 3차원이고, 이미 얻은 두 상태(와 사다리에서 하나씩)와 모두 직교하는 방향이 사다리의 꼭대기가 된다.
이렇게 3단계와 4단계를 에 도달할 때까지 반복한다.

결과 정리:

coupled

빈 칸은 0이다. 행렬이 별 블록(1×1, 2×2, 2×2, 1×1)으로 나뉘는 것이 0단계에서 그린 지도 그대로다.
이 표의 각 칸이 바로 CG coefficient 이다. 아래 예시 2의 일반식에 을 넣은 결과와도 일치한다.

예시 1: 두 spin-1/2 ()

상태 수:

Triplet (, 교환에 대해 대칭)

Singlet (, 교환에 대해 반대칭)

은 에 를 걸어서, 은 과의 orthogonality로 얻는다. Condon–Shortley convention에 따라 .

예시 2: Spin-orbit ()

Fine structure에서 필요한 경우. 일반 에 대해 닫힌 형태가 있다.

( orbital), 이면

이 coupled basis에서는 spin-orbit term이 대각적이다.

Fine structure에서 coupled basis를, strong-field Zeeman에서 uncoupled basis를 쓰는 이유가 여기서 나온다. Intermediate field에서는 두 basis 사이를 CG coefficient로 오가며 행렬을 대각화해야 한다.

• 양자 필기 - Spin-Orbit Coupling and Fine Structure
• 양자 필기 - Intermediate-Field Zeeman Effect

Selection rule: 대칭성으로 보기

Griffiths에서는 spontaneous emission을 다룰 때 dipole 행렬 원소를 직접 적분해서 selection rule을 보인다.
여기서는 같은 결과를 대칭성만으로 얻는다. 적분을 하지 않아도 어떤 행렬 원소가 0인지 알 수 있다는 것이 핵심이다.

선택 규칙은 두 종류의 대칭성에서 나온다.

1. 회전 대칭 → Wigner–Eckart theorem → , 의 범위
2. Parity → 의 짝홀

Griffiths 수준에서 먼저 보기: scalar operator와 vector operator

이 부분의 목표

Griffiths는 일반적인 tensor operator를 다루지 않는다. scalar operator와 vector operator 두 종류만, 그것도 commutator 계산만으로 selection rule을 얻는다.
도구는 딱 하나다.

즉 “행렬 원소가 0이 아니려면 여야 한다.” (를 양쪽 끝의 ket과 bra에 작용시켜 얻는다.)
아래의 “Spherical tensor operator”, “Wigner–Eckart theorem” 절은 이 내용을 일반화한 심화 내용이므로, 학부 수준에서는 이 절만 이해해도 충분하다.

Spin이 없는 입자의 상태 을 생각하자. (spin이 있으면 자리에 를 넣으면 된다.)

기본 도구: commutator를 새드위치하기

어떤 operator 가 를 만족한다고 하자. (는 숫자)
양변을 과 사이에 끼우면, 는 왼쪽 bra에서는 , 오른쪽 ket에서는 를 내놓는다.

이것이 과 같아야 하므로

이면 행렬 원소는 무조건 0이다.
앞에서 ladder operator를 다룰 때 이면 가 을 바꾼다는 것과 완전히 같은 논리다.

Scalar operator

정의: 모든 성분의 과 commute하는 operator

방향에 대한 정보가 없는, 회전해도 그대로인 양이다. 예) , , , 구대칭 potential을 가진 Hamiltonian

Selection rule

1. , 즉 이므로
2. 을 같은 방식으로 새드위치하면 이므로
3. 더 나아가 을 이용하면 행렬 원소가 에 무관하다는 것도 보일 수 있다.

3번을 보이면 이렇다. 에서

• 항:
• 항: , 그리고

따라서 을 하나씩 올려도 행렬 원소가 같다. 정리하면

구대칭 Hamiltonian의 에너지가 에 대해 중 degenerate한 이유가 바로 이것이다.

Vector operator

정의: 과 다음 commutation relation을 만족하는 세 operator의 묶

회전시키면 보통의 vector처럼 성분끼리 섞인다는 뜻이다. 예) , , 자신 (을 넣으면 각운동량의 commutation relation이 된다.)

selection rule
축에 대한 commutator만 뽑아 보면

는 서로 섞여서 기본 도구를 바로 쓸 수 없다. 그래서 ladder operator처럼 조합을 만든다.

(확인: )

기본 도구에 을 넣으면

operator		행렬 원소가 0이 아닌 조건

는 의 조합이므로 일 때만 0이 아니다. 결론적으로 vector operator는 만 허용한다.

selection rule
일반적인 vector operator에 대해서는 이다.
직관적으로는 vector operator를 작용시키는 것이 각운동량 1짜리를 하나 더 얹는 것과 같다고 생각하면 된다.
앞의 CG 절에서 본 것처럼 에 각운동량 1을 합치면 결과는 , , 중 하나다. (triangle inequality)
가 을 바꾸는 것도 “각운동량 1의 을 더하는 것”으로 읽을 수 있다.

Electric dipole: Griffiths의 직접 유도

Griffiths는 spontaneous emission을 다룰 때 에 대해 위 논리를 구체적으로 계산한다.

: 은 vector operator이므로 위 표 그대로다.

여기서 빛의 polarization과의 연결이 보인다. 방향으로 편광된 빛은 성분만 남아 , 원편광된 빛은 성분이 남아 전이를 일으킨다.

: Griffiths는 에만 성립하는 다음 identity를 이용한다.

양변을 과 사이에 끼우고 , 로 쓰면

• 좌변: 가 바깥에서 두 번 작용하므로
• 우변:

행렬 원소가 0이 아니려면 여야 하고, 이것을 인수분해하면

따라서 이거나 이다. 후자는 의 각도 적분이 0이라서 떨어진다.

일반 vector operator는 을 허용하는데, 왜 은 뿐인가?

위 identity가 의 특수한 성질을 이용하기 때문이다. 그 성질의 정체는 parity다.
은 공간 반전에서 부호가 바뀌고, 의 parity는 이다. 따라서 은 parity가 다른 상태, 즉 이 홀수만큼 다른 상태만 잇는다.
회전 대칭이 주는 과 parity가 주는 ” 홀수”를 합치면 이 남는다. Griffiths의 identity 한 줄이 이 두 가지를 동시에 해 준 것이다. (자세한 내용은 아래 Parity가 주는 selection rule)

반면 도 vector operator이지만 parity에서 부호가 바뀌지 않는다(axial vector). 그래서 은 인 상태만 잇는다. 당연하다. 은 을 바꾸지 않는다.

정리

operator 종류	정의	예시	selection rule
scalar		,	, , 행렬 원소는 에 무관
vector		, ,	,
(dipole)	vector + parity odd		,

다리 놓기: Wigner–Eckart theorem이 말하는 것

Griffiths 수준의 결론을 한 문장으로 요약하면 이렇다.

행렬 원소의 방향 의존성(, , 성분 )은 전부 회전 대칭이 정하고, 남는 것은 과 무관한 숫자 하나뿐이다.

Scalar operator에서는 “방향 의존성”이 로 아주 단순했다.
Vector operator에서는 이 자리에 CG coefficient가 들어간다. “각운동량 1을 더 얹는다”는 직관을 그대로 수식으로 옮긴 것이다.

(는 , 를 적절히 normalize한 성분으로, 아래 절에서 정의한다.)
CG coefficient가 0이 되는 조건(, )이 바로 위에서 commutator로 얻은 selection rule이다.
실용적으로는 여러 에 대한 행렬 원소 중 하나만 직접 적분하면, 나머지는 CG table의 비율로 얻을 수 있다는 것이 이 정리의 가치다.

Spherical tensor operator

여기부터는 심화 내용 (Sakurai 수준)

위의 scalar(rank 0), vector(rank 1)를 임의의 rank 로 일반화한다.
이 회전에 대해 특정한 방식으로 변환되듯, operator도 회전에 대해 변환된다.
회전에 대해 처럼 변환하는 개 operator의 묶을 rank spherical tensor ()라고 한다.

무한소 회전으로 풀면 와의 commutation relation으로 동등하게 정의할 수 있다.

앞에서 유도한 ladder 계수 와 똑같은 계수다. 가 의 을 올리내리듯, commutator를 통해 의 를 올리내린다.

예시:

• Scalar (): 와 모두 commute하는 operator. 예) , 회전 대칭이 있는 계의 Hamiltonian
• Vector (): 임의의 vector operator ( 등)의 spherical component

특히 위치 operator는 spherical harmonics와 직접 연결된다.

즉 은 회전에 대해 처럼 변환한다. 이것이 dipole selection rule의 출발점이다.

Wigner–Eckart theorem

(는 외의 나머지 quantum number, 예를 들면 hydrogen의 . Normalization은 Sakurai convention이며, 교재마다 인자를 두는 위치가 다르다.)

행렬 원소가 두 부분으로 갈라진다.

• 기하학적 부분: Clebsch–Gordan 계수. 의존성이 전부 여기에 들어 있고, 동역학과 무관하게 회전 대칭만으로 결정된다.
• 물리적 부분: reduced matrix element . 과 무관하고, radial wavefunction 같은 계의 구체적인 정보는 전부 여기에 들어 있다.

왜 CG 계수가 나오는가? 은 회전에 대해 과 똑같이 변환한다. 실제로 를 양쪽에 작용시켜 얻는 행렬 원소의 recursion relation이 두 각운동량 합성의 CG recursion relation과 정확히 같다.
그래서 을 에 투영하는 것은, 각운동량 와 를 합성해 을 만드는 것과 같은 구조를 갖는다.

따름정리: 회전 대칭이 주는 selection rule

CG 계수가 0이 아니려면 다음 두 조건을 만족해야 한다.

(두 번째는 각운동량 합성의 triangle inequality.)
따라서 rank tensor는 를 최대 만큼, 을 만큼만 바꿀 수 있다.

• (scalar): , . Scalar operator는 을 바꾸지 못하고, 행렬 원소는 에 무관하다. 회전 대칭이 있는 Hamiltonian의 에너지가 에 대해 중 degenerate한 이유가 바로 이것이다.
• (vector): , . 단, 은 triangle inequality 에 의해 금지된다.

따름정리: Ratio theorem

Reduced matrix element가 과 무관하므로, 같은 사이의 행렬 원소들의 비율은 CG 계수의 비율만으로 결정된다. 하나만 계산하면 나머지는 공짜다.
예를 들어 같은 안에서 임의의 vector operator는 에 비례하는 행렬 원소를 갖는다 (projection theorem).

Weak-field Zeeman effect에서 Landé g-factor를 구할 때 를 방향으로 사영한 것이 바로 이 정리의 응용이다. (양자 필기 - Weak-Field Zeeman Effect)

Parity가 주는 selection rule

회전 대칭만으로는 에 대해 이 허용된다. 이것을 금지하는 것은 parity다.
연산자가 true vector거나 pseudoscalar이라면, parity를 적용할 때 부호가 바뀐다.

(에서 온다.)


이 그림을 봐… 부호가 다른 부분을 다른 색으로 칠해뒀어.

을 끼워 넣으면

따라서 이 짝수이면 행렬 원소는 0이다. Dipole transition은 parity가 바뀌는 상태 사이에서만 일어난다 (Laporte rule).

Electric dipole transition의 selection rule

Dipole 근사에서 전이 확률은 에 비례한다. 두 대칭성을 합치면:

조건	출처
	회전 대칭 (, )
	회전 대칭 (triangle inequality, )
홀수	parity
	둘의 교집합

가 빛의 polarization과 직접 대응한다. 방향 선편광()은 , 원편광()은 전이를 일으킨다.

Spin까지 포함하면

Dipole operator 은 spin에 작용하지 않는다. ()

• , 그리고 uncoupled basis에서는
• 은 에 대해 vector이고 와 commute하므로 에 대해서도 rank-1 tensor이다. 따라서 coupled basis 에서도 Wigner–Eckart theorem이 그대로 적용되어

예시: Hydrogen

• : , 허용. Lyman- 선
• : , dipole 전이 금지 (parity). 그래서 는 metastable state이고, 주로 two-photon 과정으로 훨씬 느리게 붕괴한다.
• : , 금지 (triangle inequality). 로 단계를 거쳐 내려간다.

“금지”는 electric dipole 근사에서의 금지다. Magnetic dipole, electric quadrupole 같은 고차 항은 다른 rank와 parity를 가지므로 다른 selection rule을 따르고, 훨씬 약하게 일어난다.