QM lecture note - The Relativistic Correction to the Kinetic Energy

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Linear Stark Effect

오늘의 핵심

이제 문제는 의 expectation value를 구하는 것으로 바뀐다.

Perturbation의 Rotational symmetry → 의 eigenstate가 good state

스핀 신경 안 씀, 은 오비탈의 방향 각운동량량

계산을 쉽게 하는 꼼수가 있다.
운동에너지 = 해밀토니안 - 포텐셜
을 이용,

이제는 과 를 찾는 문제로 바뀌었다.

을 구하는 올바른 방법 → 쿨롱 포텐셜에 perturbation theory

원래 이랬던 해밀토니안에, 작은 perturbation 를 더한다.

: auxiliary perturbation

비슷한 접근법으로 도 구할 수 있다.
해밀토니안에 가 perturbation으로 들어간 것이다.

자세한 내용은 일단 생략하자.

필기 내용

Sakurai 5.3.1 The Relativistic Correction to the Kinetic Energy

Symbol table

Symbol	Meaning
	Electron mass
	Speed of light
	Atomic number (nuclear charge )
	Electron charge (, Sakurai convention)
	Fine-structure constant,
	Momentum operator
	Orbital angular momentum operator
	Unperturbed (nonrelativistic) Hamiltonian
	Relativistic kinetic energy
	Perturbation (relativistic correction)
	Hydrogenlike atom eigenstate
	Unperturbed energy eigenvalue
	First-order energy shift
	Expectation value 계산을 위한 auxiliary perturbation

Unperturbed Hamiltonian

전자가 하나 있고, 핵의 전하가 인 원자에 대해 unperturbed Hamiltonian을 일반적으로 나타내면 이렇다.

이로 인한 eigen energy는 이렇다.

이게 나중 풀이를 위한 떡밥이라는 점.

Relativistic kinetic energy

상대론을 생각하면 운동에너지 식이 아래와 같이 수정된다. 자세한 이유는 몰라도 되겠지…

Perturbation

4차항 까지만 생각했을 때, 원래 알고 있던 고전적 운동에너지에 가 더 붙은 꼴이다.
이 항이 perturbation 되시겠다.

이제 문제는 의 expectation value를 구하는 것으로 바뀐다.

Rotational symmetry

를 위한 good state는 무엇일지 생각해 보아야 한다.
이럴 때 대칭성 만큼 간단한 것이 없다.

는 스칼라이기 때문에 회전 변환을 해도 그대로여야 한다.

때문에 각운동량 operator와 commute한다.

그러면? 의 nondergenerate eigenket인 이 를 이미 대각화할 수 있으며, 따로 힘들게 good state를 찾지 않아도 된다는 뜻이다.

First-order energy shift

속편히 expectation value를 찾아 가 뭔지 알아보자.

Rewriting with

계산을 쉽게 하는 꼼수가 있다.
운동에너지 = 해밀토니안 - 포텐셜
을 이용,

이제는 과 를 찾는 문제로 바뀌었다.

Expectation values

: auxiliary perturbation

을 찾는 건 간단하다. 핵의 전하량이 달라지는 경우를 생각하면 되거든.

원래 이랬던 해밀토니안에, 를 더한다.

이렇게, 로 바뀐 것이다.

를 안에 대입해서 에너지 변화량을 확인하면, 그것이 바로

어라… 왜 교과서 답이랑 다르지? 가 나와야 하는데? 뭐가 문제이지?
그리고 내가 만약 해밀토니안에 넣었다면, (는 유리수) 그러면 또 값이 에 의존하는, 이상한 결과가 나온 것이다!

뭐가 문제인가?

Perturbation이 원래 해밀토니안과 견줄 만큼 너무 커서 그렇다.
를 통째로 더해서 () 로 두고 을 구했다. 이것은 1차 ()와 2차 ()가 합쳐진 exact energy 변화이지, first-order shift가 아니다. Perturbation은 반드시 작은 parameter로 두고 1차 계수만 읽어야 한다.

을 구하는 올바른 방법

원래 이랬던 해밀토니안에, 작은 perturbation 를 더한다.

이렇게, 로 바뀐 것이다. 이 문제는 exact하게 풀 수 있다. 이므로

에 대해 전개하면

First-order energy shift는 perturbation의 기댓값이므로, 의 1차 계수만 비교한다.

이게 맞는 결과다…

: auxiliary perturbation

비슷한 접근법으로 도 구할 수 있다.
해밀토니안에 가 perturbation으로 들어간 것이다.

자세한 내용은 일단 생략하자.

Result

지금까지의 결과를 모두 합치면 아래 결과가 나온다.

궁금한 내용

연관 학습 노트

• 양자 필기 - Relativistic Correction to Hydrogen
• Sakurai 5.17 - Darwin Term and Fine Structure
• QM lecture note - Time-Independent Nondegenerate Perturbation Theory
• QM lecture note - Time-Independent Degenerate Perturbation Theory
• 양자 필기 - Good States in Degenerate Perturbation Theory

다음 강의

QM lecture note - Spin-Orbit Interaction and Fine Structure

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.3.1