QM lecture note - Perturbation Theory Examples

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Time-Independent Nondegenerate Perturbation Theory에서 nondegenerate perturbation theory의 formal development와 wave function renormalization을 다루었다.

오늘의 핵심

• SHO + quadratic perturbation: exact solution ()과 perturbation 결과를 비교할 수 있는 예제.
• Quadratic Stark effect: 균일 전기장 속 수소 원자. Parity 때문에 ground state에는 linear Stark effect가 없고, 2차 효과가 leading order이다.
• Selection rule: unless ,
• Polarizability:

필기 내용

Symbol table

Symbol	Meaning
	SHO perturbation의 세기
	SHO energy eigenbasis에서 position의 matrix element
	수소 원자의 ground state ()
	방향의 uniform electric field
	operator의 matrix element
	Parity operator
	Atomic polarizability

1. 1st Elementary Example — Simple Harmonic Oscillator with Quadratic Perturbation

Unperturbed Hamiltonian:

Perturbation: 동일 진동수, 동일 위치에 harmonic potential을 추가.

사실 exact solution을 아주 쉽게 구할 수 있는 간단한 문제다. 값만 바꾸면 되기 때문.

Perturbation theory의 결과와 exact solution을 비교해 보자. Ground state의 변화를 알아보면,

의 matrix element를 구해보자. Position operator의 matrix element가

임을 이용하자.

중에서 0이 아닌 것은 , 인 경우밖에 없다.

이를 이용하면 (),

AI 답변 — Exact solution과의 비교

Exact ground state energy는 이다. 로 전개하면

로 perturbation 결과와 정확히 일치한다.

Ket에 대해서도 확인할 수 있다. Exact ground state는 폭이 좁아진 Gaussian , 이다. 폭이 바뀐 Gaussian을 원래 basis로 전개하면 짝수 상태 ()만 섞이는데, 가 parity even이라 만 연결한다는 사실과 일치한다. 또 의 계수가 음수인 것은 파동함수가 가운데로 좁아지는 방향의 보정임을 뜻한다.

수렴 조건도 two-state problem과 같은 방식으로 볼 수 있다: 전개가 의 binomial series이므로 이면 수렴한다. 이면 가 허수가 되어 bound state 자체가 사라지는 것과 대응된다.

2. 2nd Elementary Example — Quadratic Stark Effect

Hydrogen atom in uniform electric field. 방향으로 uniform하게 걸린 전기장에서 수소 전자의 상태는?

전기장을 perturbation으로 두자. 은 원래 수소 전자가 겪던 potential이다.

Spin은 고려하지 않기로 한다. 아직은 nondegenerate case를 연습 중이므로, ( is principal quantum number)인 경우, 바닥 상태만 다뤄보자.

Ground state 에 대해 energy shift에 관한 식을 operator의 matrix element로 나타내면,

Parity를 이용해 임을 확인

는 parity에 even하다. Parity operator가 일 때,

반면 는 parity에 odd하다.

따라서,

두 식이 동시에 성립하려면,

이렇기 때문에, ground state에는 linear Stark effect가 없다.

AI 답변 — 왜 "nondegenerate"가 중요한가

이 논증은 가 parity eigenstate라는 점에만 의존한다. Nondegenerate state는 parity와 commute하는 의 eigenstate이므로 자동으로 parity eigenstate이다. 반면 준위처럼 (even)와 (odd)가 degenerate하면 둘을 섞은 상태는 parity eigenstate가 아니게 되고, 영구 dipole moment를 가질 수 있어 linear Stark effect가 나타난다. 이것은 degenerate perturbation theory에서 다룰 내용이다.

Off-diagonal term — Selection rule

이제 의 off-diagonal term을 구하면, selection rule을 이용해서,

AI 답변 — Selection rule의 기원

• : 는 와 commute한다 (축 회전에 불변). 따라서 는 을 바꿀 수 없다.
• : 는 rank-1 spherical tensor의 성분이다. QM lecture note - Tensor Operators and Wigner-Eckart Theorem에 의해 이고, 여기에 parity odd 조건이 더해져 이 제외된다.

Ground state ()에 적용하면, 2차 보정의 합에 기여하는 것은 상태들뿐이다.

Polarizability

원자의 polarizability 는 전기장에 의한 에너지 변화를 이용해 이렇게 정의된다.

Ground state로 를 구해보면,

는 수소 원자의 모든 bound state가 될 수 있다.

AI 답변 — 정의의 의미와 합의 범위

유도 dipole moment가 이면, 그 에너지는 이다 (dipole이 field에 의해 유도되는 과정에서의 일 때문에 인자가 붙는다). 이를 뒤집은 것이 위 정의이다. Ground state에서는 이므로 — 앞 노트에서 본 “ground state의 2차 shift는 항상 음수”의 결과이다.

한 가지 주의: 가 complete set이 되려면 bound state뿐 아니라 continuum (unbound) state까지 포함해야 한다. 따라서 엄밀한 합에는 continuum에 대한 적분도 들어간다. Bound state만으로는 합이 정확한 값을 주지 않는다. 이 무한합을 직접 계산하기는 어려워서, closure를 이용한 상한 추정이나 Dalgarno–Lewis 방법 같은 우회로를 쓴다. 정확한 값은 (Gaussian units, : Bohr radius)이다.

궁금한 내용

연관 학습 노트

• QM lecture note - Time-Independent Nondegenerate Perturbation Theory
• QM lecture note - Simple Harmonic Oscillator
• QM lecture note - Discrete Symmetries
• QM lecture note - Tensor Operators and Wigner-Eckart Theorem

다음 강의

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References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.1

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