양자 필기 - Higher-Order Degeneracy

비공식 자료, 책임 안 짐

이것은 양자물리 (학부용, Griffiths) 강의를 듣고 TA가 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
교수님께서 검토하신 자료가 아니므로, 전문성을 보장하지 않습니다.

지난 강의

• 양자 필기 - Good States in Degenerate Perturbation Theory (Griffiths 7.2.2)

오늘의 핵심

양자 필기 - Two-Fold Degenerate Perturbation Theory를 일반화 한다.
그저 degenerate space의 차원이 늘어났고, matrix의 크기도 따라서 커졌을 뿐.
크게 달라진 건 없다.

기호 정리

Symbol	Meaning
	-fold degenerate subspace의 orthonormal basis ()
	Good state를 이루는 계수
	, matrix 의 원소
	Degenerate subspace로의 projection operator
	Problem 7.34의 새로운 unperturbed Hamiltonian과 perturbation
	Second-order degenerate perturbation theory의 matrix (윗첨자 2는 제곱이 아니라 차수)

필기 내용

1. -fold degeneracy로의 일반화

Two-fold degeneracy에서 한 일을 그대로 확장하면 된다. -fold degeneracy에서는 matrix

의 eigenvalue가 first-order energy correction이고, eigenvector가 good states다.

2. Three-fold degeneracy의 예

Degenerate state가 세 개라면 first-order correction 은 다음 eigenvalue problem의 해다.

그리고 good states는 대응하는 eigenvector로 만든다.

(eigenvalue가 겹치면 양자 필기 - Two-Fold Degenerate Perturbation Theory의 footnote 6 경고가 그대로 적용된다.)

3. 해석: degenerate part의 대각화 (footnote 9)

Degenerate perturbation theory는 결국 Hamiltonian의 degenerate part를 대각화하는 것이다.
Problem 7.34는 이것을 projection operator로 표현한다. Degenerate subspace로의 projection

를 써서 Hamiltonian을 다시 나눈다.

는 degenerate subspace 안의 를 미리 흡수한 unperturbed Hamiltonian이어서 (보통) nondegenerate해지고, 그 뒤로는 ordinary nondegenerate perturbation theory를 쓸 수 있다. 이 방법은 unperturbed energy가 정확히 같지 않고 매우 가까운 경우 ()에도 쓸 수 있다는 장점이 있다 (예: band structure의 nearly-free electron approximation).

5. 관련 연습문제

• Problem 7.10: Example 7.3의 first-order energy 가 exact solution을 1차까지 전개한 것과 일치함을 보이기.
• Problem 7.11 (HW2): Infinite cubical well에 delta function bump 를 넣었을 때 ground state와 triply degenerate first excited state의 first-order correction.
• Problem 7.12(HW2): Three-state system . Exact eigenvalue, nondegenerate state의 first/second-order, degenerate state의 first-order를 비교.
• Problem 7.13: 에서 출발해 -fold 경우에 이 의 eigenvalue임을 증명.
• Further Problems 중 관련: 7.34–7.35 (projection operator 방법), 7.39–7.41 (second-order degenerate perturbation theory).

궁금한 내용

연관 학습 노트

• 양자물리 (학부용, Griffiths)
• 양자 필기 - Two-Fold Degenerate Perturbation Theory
• 양자 필기 - Good States in Degenerate Perturbation Theory
• 양자 필기 - Second-Order Energy Correction

References

• Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.), Section 7.2.3, footnotes 8–9, Problems 7.10–7.13, 7.34–7.35, 7.39–7.41

다음 강의

• 양자 필기 - Relativistic Correction to Hydrogen (Griffiths 7.3 도입, 7.3.1)

필기 원본

손필기 없음. Griffiths 교재 본문을 바탕으로 정리함.