QM lecture note - Gauge Transformations

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Path Integral Formulation

상수 포텐셜 를 더하면 wave function에 phase만 붙고 물리적 expectation value는 바뀌지 않는다.
전자기장이 있을 때 이 아이디어가 게이지 변환으로 일반화된다.

오늘의 핵심

• 전자기장 속 입자의 해밀토니안은

• 라그랑지안은

부분을 잊지 마! 가 momentum의 차원이므로, 여기에 속도를 곱하면 차원적으로 에너지가된다.

해밀토니안이 바뀜에 따라, 유효한 gradient 연산또한 바뀌었다.

Mechanical momentum

Schrödinger equation에 쓰이는 gradient operator

• Canonical momentum 와 Mechanical momentum 는 다르다.
• 게이지 변환 , 아래서 물리 observable은 불변이다.
• 변환은 unitary operator, 부호에 유의한다!

으로 구현되며, ket은 로 변환된다.

운동량은 이렇게 변환된다.

게이지 변환에 의해 wave function의 phase가 돌아간다.

그렇지만 probability current는 변하지 않는다.

가 변하는 만큼 도 변하기 때문이다.

필기 내용

포텐셜과 게이지 변환 (연결)

Constant potential 를 더한다면:

• 포텐셜이 상수가 되면, wave function은 phase만 바뀌고, expectation value는 바뀌지 않는다.

전자기장 속 해밀토니안

전자기장 속 입자의 해밀토니안:

여기서 effective momentum(mechanical momentum) 가 진짜 운동량 역할을 한다. 저게 진짜 를 나타내기 때문이다.

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Canonical momentum과 Mechanical momentum

운동방정식에서 속도를 구해보자:

계산 과정

, , , 각각의 commutator를 계산해야 한다. 자세한 계산 과정이 어떻게 되는가?

따라서:

• : Canonical momentum — 게이지 변환 하에서 불변이 아님. 게이지에 의존하는 양이다. Canonical commutation relation를 만족한다. ,
• : Mechanical momentum — 실제 운동에 해당하는 양. 게이지 불변.

이 두 가지가 다르다는 점이 전자기장에서의 양자역학(그리고 해밀톤 역학과 라그랑주 역학)의 핵심이다.

Mechanical momentum의 Commutation Relation

위 식은 를 위치에 대한 함수로 취급하여, 의 관계를 이용하면 쉽게 알 수 있다.

→ 자기장이 있으면 서로 다른 방향의 mechanical momentum이 commute하지 않는다! 는 걸 알 수 있다.

이 commutation relation으로부터 아래의 Lorentz force law가 유도된다:

이것이 Lorentz force이다. 양자역학에서는 와 가 일반적으로 commute하지 않기 때문에, 와 가 구별된다. 고전 극한에서 둘을 합치면 가 된다.

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Gauge Transformation

게이지 변환: 전자기 퍼텐셜의 다음 변환은 전기장과 자기장을 변화시키지 않는다:

아래 식이 전기역학에서 배운 것과 다르게, c가 있다.
이유는 차원 때문이다. 여기서는 벡터 포텐셜과 스칼라 포텐셜의 차원을 동일하게 맞추었다. 전기장과 자기장의 차원 또한 동일하게 맞추었다.

그렇다면 expectation value가 게이지 불변임을 어떻게 증명하는가?

Unitary operator

게이지 변환은 다음 unitary operator 로 구현된다고 가정하자.

라고 둔 걸 생각하자.
게이지 변환에 의해, 위치에 대한 expectation value는 변하지 않아야 한다.
그리고 속도를 직접적으로 결정하는 mechanical momentum 의 expaction value도 변하지 않아야 한다.
가 게이지 의존이기 때문에, canonical momentum 또한 게이지 의존이어야 가 게이지 독립일 수 있다.

아무 state 에 대해, 이것이 게이지 변환된 버전이 라고 두면,

Position의 expectation value가 게이지 불변이라면,

즉, , 위치와 G가 commute해야 한다.
G는 오로지 위치에 대한 함수이므로, 이것은 바로 성립된다.

Mechanical momentum의 expectation value가 게이지 불변이라면,
이라고 둘 때,

와 또한 위치에 대한 함수라서 G와 commute한다. G로 샌드위치해도 그대로 일 것이다. 따라서

부분만 확인하면 된다.

의 계산

를 계산하면 (이므로):

따라서:

는 게이지 변환에 의해 불변이 아님을 알 수 있다.
그리고 다시 로 돌아오면, 운동량이 위와 같이 변환되어 비로소 mechanical momentum이 게이지 불변이 된다는 걸 알 수 있다.
다른 말로 하면 canonical momemtum의 게이지 변환 식을 알고 싶을 경우, mechanical momentum의 게이지 불변 특성을 이용하여 유도하는 편이 빠르다는 뜻이다.

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게이지 변환 하에서 Ket의 변환

Ket은 다음과 같이 변환된다:

위치 basis에서 wave function으로 쓰면:

즉 이다. WKB 표현 으로 보면, 게이지 변환은 phase 를 다음과 같이 바꾼다:

즉, 게이지 변환은 파동함수의 phase를 국소적으로 변화하는 역할을 한다.

Mechanical momentum의 기댓값은:

즉, mechanical momentum의 기댓값은 게이지 변환에 불변이다. ✓

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게이지 변환된 슈뢰딩거 방정식

원래의 슈뢰딩거 방정식:

게이지 변환 후:

형식이 동일하다. 단, , 로 바뀌었을 뿐이다.

변호나 이후의 해밀토니안 연산자를 로 샌드위치해 보면, 변호나 이전의 해밀토니안과 똑같아진다는 것을 알 수 있다. 이를 통해 식 14와 식13이 동일하다는 걸 알 수 있다.

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게이지 변환이 전하를 보존하는 이유 (연결)

슈뢰딩거 방정식은 게이지 불변이다. 5페이지의 probability current:

게이지 변환 하에서:

의 게이지 불변성 증명:

먼저, probability current를 WKB 형태 로 표현하면:

여기서 를 wave function에 적용하면 가 나온다는 점을 이용했다.

이제 게이지 변환을 적용하자. 이므로:

또한 벡터 포텐셜은 로 바뀐다. 변환 후의 current는:

항이 정확히 상쇄되어 가 된다. ∎

핵심: 게이지 변환이 와 모두에 를 더하는 방식으로 작동하기 때문에, mechanical momentum — 즉 physical current — 는 변하지 않는다.

게이지 변환이 전하를 보존하는 건 어떻게 보이는가?

와 연속 방정식 을 연결해서 생각해보자.

궁금한 내용

• 계산 과정: 식 (3)을 직접 유도해보자. , commutator를 쓰면 된다.
• Mechanical momentum commutator 유도: 식 (5) 를 직접 유도해보자. 를 대입하고 를 계산하면 된다.
• Probability current의 게이지 불변성: 식 (15)의 가 게이지 변환 하에서 불변임을 보여라.

AI의 보충 설명

Canonical vs Mechanical Momentum: 왜 다른가?

고전 전자기학에서도 이 구분이 있다. 라그랑지안이:

일 때, canonical momentum은 이다. 즉 .

양자화 시 로 대응시키는 것은 canonical momentum이다. 따라서 QM에서 해밀토니안을 쓸 때 kinetic term은 이 된다.

핵심: 게이지가 바뀌면 가 바뀌므로 도 재정의된다. 반면 는 실제 속도에서 오므로 물리적으로 의미있다.

유도

이므로:

마지막에 를 사용했다. ∎

연관 학습 노트

References

Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chap. 2

다음 강의

QM lecture note - Aharonov-Bohm Effect and Magnetic Monopole

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