QM lecture note - Density Operator and Entropy

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Wigner-Eckart Theorem Proof and Applications에서 Wigner-Eckart theorem의 증명, selection rules, 그리고 응용을 다루었다.

오늘의 핵심

• Density operator: 순수한 ket 하나로 기술되지 않는 통계적 혼합 상태를 기술하는 연산자
• Expectation value: — basis 독립적인 표현
• Pure vs Mixed: (pure), (mixed)
• Von Neumann Entropy: — 시스템의 혼합 정도를 측정
• Maximum entropy: 모든 상태가 동등확률 일 때,

필기 내용

1. 왜 Density Operator가 필요한가?

지금까지 양자역학에서는 시스템이 단 하나의 ket 로 기술된다고 가정했다. 이것을 pure state라 한다.

그런데 실제 물리계에서는 이것이 불가능한 경우가 많다. 예를 들어:

• 온도 의 열평형 상태에 있는 원자: 에너지 인 상태에 있을 확률이 Boltzmann distribution을 따름
• 측정을 하기 전의 앙상블: 여러 가능한 상태가 확률적으로 혼합

이런 통계적 혼합(statistical mixture) 상태를 기술하기 위해 density operator가 필요하다.

열평형 상태의 예

해밀토니안 의 에너지 eigenstate를 라 하자. 온도 에서 에너지 인 상태에 있을 확률은:

이때 observable 의 기댓값은:

이것은 각 에너지 eigenstate에서의 양자역학적 기댓값을 열통계적 확률로 가중평균한 것이다. 고전 통계역학의 ensemble average와 완전히 같은 구조이다.

2. Density Operator의 정의

일반적인 혼합 상태에서, 상태 에 있을 확률이 라 하면 (, ) density operator를 다음과 같이 정의한다:

이것은 각 상태로의 projection operator의 확률 가중 합이다.

이를 이용하면 의 기댓값은:

왜 Trace인가?

임의의 complete basis 에 대해 trace를 전개하면:

completeness relation을 삽입하면 와 일치함을 확인할 수 있다.

핵심은 Trace가 basis 독립적이라는 점이다. 어떤 basis로 계산해도 같은 값이 나오기 때문에, 물리적 예측값을 표현하기에 가장 자연스러운 방법이다.

Density Operator의 성질

• : 확률의 합이 1
• : Hermitian (모든 projection operator가 Hermitian이므로)
• : 모든 eigenvalue가 (확률이 음수일 수 없으므로)

3. Pure State vs Mixed State

	Pure State	Mixed State
		,
	(idempotent)

Pure State에서 인 이유

Mixed State에서 인 이유

를 대각화하면 ():

이고 이면, Cauchy-Schwarz에 의해:

등호는 (하나만 1, 나머지 0), 즉 pure state일 때만 성립한다.

AI 보충 — 의 물리적 의미

은 purity라고 부른다. 시스템이 얼마나 “pure”한지를 범위로 나타내는 양이다.

• : 완전한 pure state
• : 완전한 혼합 상태 (maximally mixed state, : Hilbert space 차원)

purity는 basis 독립적이므로, 실험적으로 접근 가능한 물리량이다.

4. Von Neumann Entropy

시스템이 얼마나 “섞여 있는지”를 정량화하는 양:

를 대각화하면 ():

이것은 정보이론의 Shannon entropy와 정확히 같은 구조이다.

Pure State:

Pure state에서는 (하나만), 나머지 이다.

이므로:

시스템의 상태를 완전히 알고 있으면 불확실성이 없으므로 entropy가 0이다.

Mixed State:

여러 상태가 섞여있으면 각 이므로 .

Maximum Entropy

를 maximize하는 조건: 하에서 를 최대화.

Lagrange multiplier를 사용하면:

즉, (모든 상태가 동등 확률)일 때 entropy가 최대:

이때 density operator는:

어떤 상태에 있는지 전혀 모르는 상황 — 완전히 무질서한 상태이다.

AI 보충 — Von Neumann Entropy의 물리적 직관

Von Neumann entropy는 시스템에 대한 “무지의 정도” 를 측정한다.

• : 시스템 상태를 완전히 알고 있음 (pure state)
• : 시스템 상태에 대해 아무것도 모름 (maximally mixed)
• 중간값: 부분적으로 알고 있음

통계역학에서 Boltzmann entropy 와의 연결: maximally mixed state에서 이면 인데, 는 접근 가능한 미시 상태의 수 에 대응한다. 이 둘은 같은 물리적 내용을 담고 있다.

5. 정리: Density Operator 한눈에 보기

물리량	표현	의미
기댓값		basis 독립적
Purity		1이면 pure
Entropy		혼합 정도
Pure 조건		idempotent
Max entropy

궁금한 내용

Density operator는 시간에 따라 어떻게 진화하는가? (von Neumann equation: )

Open quantum system에서 환경과의 상호작용으로 pure state가 mixed state로 변하는 과정 (decoherence)은 어떻게 기술되는가?

연관 학습 노트

• QM lecture note - Time Evolution Operator
• QM lecture note - Measurements, Observables, and the Uncertainty Relations

다음 강의

기말고사 범위의 마지막 주제.

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 3.4

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