QM lecture note - Measurements, Observables, and the Uncertainty Relations

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Base Kets and Matrix Representation

오늘의 핵심

1/2 spin 부분은 계속 참고할 거 같음.

Matrix representation 정리

불확정성의 원리 증명 시작점

임의의 ket 에 대해, 와 에 코시-슈바르츠 부등식을 적용한다:

필기 내용

Measurements

관측의 성질

1. 관측을 하면, 관측에 쓰인 operator의 eigenstate중 하나로 붕괴한다. (state reduction)

2. 관측을 하면 eigenvalue 중 하나가 나온다.

첫 번째 관측에서 eigenvalue 를 얻으면, 짧은 시간 안에 바로 두 번째 관측을 하면 100% 확률로 또 를 얻는다.

3. Born Rule, 관측 확률에 대한 규칙.

관측 전 상태는 observable의 eigenket의 linear combination이다.

를 측정할 확률은 이렇다. 이건 양자역학의 axiom이라서 더 이상 묻고 따지면 안 된다.

Expectation Value

Example: Spin-1/2 System (계속)

S_x, S_y의 Eigenket

의 eigen ket을 , 이라 하고, 와 의 eigenket을 각각 , 이라 하자.

가 로 관측된 빔의 z-spin을 측정하면, 과 으로 관측될 확률이 같다:

을 , basis로 나타내면:

은 에 대해 orthogonal해야 하므로:

를 나타낼 수 있다. 의 eigenvalue는 이므로:
모든 operator는 그것의 eigenket으로 만든 projection operator에 eigenvalue를 곱한 것들의 합이다.

마찬가지로 에 대해서도:

, 결정

으로 준비된 빔 또한 같은 조건을 만족해야 한다:

이를 정리하면:

따라서 . 즉, x와 y에 대한 eigenket들은 만큼의 위상 차 외에는 수 없다. 관습적으로 , 로 둔다.

최종 결과

Commutation & Anti-commutation relations:

Matrix representation 정리

Compatible Observables

중요한 성질: A와 B가 compatible .

• A가 non-degenerate이면, 는 diagonal이다.
• Degeneracy → eigenvalue가 같은 eigenvector가 2개 이상 존재.

증명: 이면 A의 eigenket이 B의 eigenket이기도 함

이면 . 따라서:

B를 completeness relation으로 전개하면:

은 B의 eigenket이기도 하다. 에 대한 B의 eigenvalue는 이다.

A가 degenerate한 경우

n개의 eigenket이 같은 eigenvalue 를 가진다고 하자:

의 linear combination 중 B를 대각화할 수 있는 것을 찾아야 한다. (힐베르트 공간 자체가 countable basis를 가지기 때문에 가능하다고 간주)

이 경우 simultaneous eigenket 을 정의한다:

측정의 물리적 의미

A에 degeneracy가 없고 A, B가 compatible한 경우:

는 아무 측정을 안 한 상태로, 의 linear sum이다. A로 측정하면 eigenvalue 가 나온 경우 상태는 로 고정된다. 이때 B로 측정하면 100% 확률로 가 나올 것이다.

A가 degenerate한 경우:

를 A로 측정하여 가 관측되는 순간, 상태는 의 linear sum으로 바뀐다:

이때 B를 측정하여 가 나온다면 상태는 로 고정되고, 다시 A로 측정하면 100%로 가 나온다.

Incompatible Observables

인 경우, A와 B의 simultaneous eigenket은 존재하지 않는다.

증명. 만약 이 둘의 simultaneous eigenket 가 있다면?

가 되어 의 전제조건을 만족하지 못한다.

관측의 기본항

중간에 또 다른 물리량으로 관측한 사건이이 측정 결과에 영향을 미친다.

사례 1. A로 를 관측하여 상태로 준비, 이를 B로 관측하고, 또 C로 관측한다. 상태가 관측될 확률은?

사례 2. A로 를 관측하여 상태로 준비, 바로 이를 C로 관측한다. 상태가 관측될 확률은?

두 경우는 일반적으로 다르다:

전자는 summation 중에 phase에 대한 정보가 날아가지만, 후자는 summation에 phase가 반영된다.

Uncertainty Principle

Observable 의 variance는 이렇게 정의된다:

Operator 를 라고 정의한다.

Uncertainty Principle:

증명에 필요한 Lemma

Lemma 1. 코시-슈바르츠 부등식.
Cauchy-Schwarz Inequality
유클리드 공간에서는 두 벡터 와 에 대해:

힐베르트 공간에서 두 ket 와 가 있을 때:

Lemma 2. 에르미트 연산자의 expectation value는 real value이다.

Lemma 3. anti-에르미트 연산자의 expectation value는 pure imaginary value이다.

(Lemma 2와 Lemma 3의 증명은 간단하다.)

본격적인 증명

임의의 ket 에 대해, 와 에 코시-슈바르츠 부등식을 적용한다:

우변을 다르게 나타낼 수 있다. 어떤 operator이든 에르미트 연산자와 anti-에르미트 연산자로 나눌 수 있기 때문에:

또한 이다. 는 anti-에르미트이고 는 에르미트이므로:

이때 는 imaginary number, 는 real number이므로:

다시 부등식으로 돌아가면:

따라서:

궁금한 내용

생각난 질문을 여기에 메모

Q. 불확정성 원리 유도에서 왜 anti-commutator 항을 버리나? 등식 조건의 물리적 의미는?

Q1. 에서 최종 부등식으로 넘어갈 때 왜 anti-commutator 항을 버리나?

맞다, 더 느슨한(덜 정확한) 부등식이 된다. 의도적으로 그렇게 하는 것이다.

이므로 이 항을 버리면:

이렇게 하는 이유는 anti-commutator 항은 상태 에 의존하는 반면, commutator 는 연산자만의 성질이기 때문이다. 예를 들어 는 어떤 상태에서도 항상 성립하는 고정된 값이다.

anti-commutator 항을 포함한 식은 특정 상태에 대한 더 tight한 정보를 주긴 하지만, “이 두 observable은 원리적으로 동시에 정확히 측정될 수 없다”는 보편적인 하한을 주려면 commutator 항만 남기는 것이 더 유용하다.

Q2. 등식 성립 조건 — 의 물리적 의미는?

불확정성 원리의 등식이 성립하려면 두 조건이 동시에 필요하다:

• 조건 1. Cauchy-Schwarz 등호 조건: (어떤 실수 에 대해)
• 조건 2.

조건 2를 해석하면:

즉, 이 순허수라는 뜻이다. 두 observable의 fluctuation 사이에 실수 부분의 상관관계(real correlation)가 없다는 것을 의미한다.

가장 유명한 예시는 Gaussian wave packet이다. 위치공간에서 순수하게 실수인 가우시안 상태는 을 만족하고, 인 최소 불확정성 상태(minimum uncertainty state) 가 된다.

반대로 이면 두 observable의 fluctuation 사이에 실수 상관관계가 존재한다. 예를 들어 chirped Gaussian(위상이 위치에 따라 변하는 파동묶음)은 위치가 크면 운동량도 크게 되는 상관이 생겨 가 된다.

요약: anti-commutator expectation value가 0인 상태 = 두 observable의 fluctuation 사이에 여분의 상관관계가 없는 상태 = 불확정성 원리의 하한을 정확히 달성하는 최소 불확정성 상태.

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

강의 ppt 링크를 이곳에

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QM lecture note - Basis Transformation Operator

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