Base Kets and Matrix Representation

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Kets, Bras, and Operators

오늘의 핵심

아직 양자역학의 기본을 공부하고 있다.
그리피스를 이미 공부했다면 볼 필요 없는 부분이다.

필기 내용

Theorem 1: Hermitian Operator의 성질

1. Hermitian operator의 eigenvalue는 real이다.
Observable이 Hermitian operator여야 하는 이유. Observable이라면 관측값이 실수여야 하기 때문이다.

어떤 Hermitian operator 와 이것의 eigenket
증명은 간단하다.

따라서:

2. 한 operator에 대해 다른 eigenvalue를 가지는 두 eigenket은 서로 orthogonal하다.

, 일 때:

는 크로네커 델타.
이면 . 즉 orthogonal.

Completeness Relation의 응용

Completeness relation 을 이용하면:

Normalization 조건:

Matrix Representation of Operators

Eigenvector의 Completeness

Eigenvector가 span하는 공간이 이라 하자. 이라면? 이건 orthogonal complement 이다. 이라 부른다. (증명은 앞서 했으므로 생략)

Operator X의 Matrix 표현

Completeness relation을 이용하면 operator 를:

가 matrix가 원소로 가지는 값이다.

Matrix 곱의 표현

Operator의 전개

Ket과 Bra의 Vector 표현

는 열벡터:

는 행벡터:

Inner Product의 Matrix Form

와 를 의 basis로 나타내면:

Operator X의 Matrix

Outer Product 의 Matrix 표현

Operator의 Transpose, Complex Conjugate, Hermitian Adjoint

• Transpose: (k와 k’ 자리 바꿈)
• Complex conjugate:
• Hermitian adjoint:

Commutator & Anti-commutator

Example: Spin-1/2 System

Base kets: ,

는 상태를 관측하는 연산자. Base ket이 의 eigen ket이다.

Ladder operators:

나중에 임을 보일 것이다.

Matrix representation:

연관 학습 노트

References

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다음 강의

QM lecture note - Measurements, Observables, and the Uncertainty Relations

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