강의 필기
이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
오늘의 핵심
정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
AI한테 시켜도 되는데 추천은 안 함.
필기 내용
1.1이 재미있다. 읽어보시라.
Hilbert Space
고전역학에서는 상태가 phase space의 한 점
양자에서는 상태가 벡터다. Ket space 또는 이것의 dual space Bra space에 산다.
여기를 Hilbert space라고 한다.
Ket vector는 어떤 상태에 대해 완전한 정보를 가진다.
Hilbert space란?
Hilbert space는 다음 4가지 조건을 통과해야 부를 수 있다.
1. Linear vector space 여야 한다.
다른 벡터들의 선형 합 또한 그 공간간안에 사는 벡터다.
2. Inner product가 정의된다.
Inner product는 dual vector로 모든 vector에 작용해야 한다.
우리는 ket의 dual vector를 bra vector라 부른다.
마치 도플갱어처럼 모든 각각의 ket vector에는 상응하는 bravector가 있다. One-to-one으로 mapping이 된다는 뜻이다.
여느 vector와 dual vector처럼 둘 사이에 내적이 정의되고, 그 값은 스칼라다.
Inner product의 complex conjugate:
3. Positive definite property를 가진다:
이것은
4. Separable 하다.
셀 수 있는 orthonormal basis set이 있다. → 그래서 ‘양자’역학인가?
어떤 벡터든 basis로 나타낼 수 있다:
- 디락 델타 함수는 Hilbert space에 살지 않는다 → non-physical basis의 예시 → position eigenstate
- Continuous basis로 쓰이는
, 등은 Hilbert space에 살지 않고 outer space에 산다.
5. Complete 하다.
Cauchy sequence: 벡터들로 이루어진 sequence로,
Hilbert space에 있는 모든 Cauchy sequence는 거기 있는 벡터로 수렴한다.
… 이게 왜 completeness인가?
Completeness와 Basis
우리는 이미 basis의 completeness를 알고 있다. Basis를 선형 결합하면 모든 벡터를 만들 수 있다. Vector space를 span
Partial sum:
Cauchy complete 하다는 게 있어야 상태를 나타내기 위한 basis를 사용할 수 있다.
Hilbert space의 예시:
Orthonormal Basis와 Completeness Relation
Ket으로 이루어진 basis
orthonormal이면
Completeness relation (항등 연산자):
이를 이용하면:
Operators
벡터를 변환하는 operator:
Operator의 성질:
- 같다:
for all 이면 - Null operator:
for all 이면 는 null operator - Commute:
- Associative:
- Linear:
Projection Operator
1차원 subspace (basis ket
어떤 벡터의
Outer product: column vector와 row vector를 곱하면 matrix가 됨:
모든 basis에 대한 projection operator를 더하면 → Hilbert space 전체에 projection → 항등 연산자:
basis가 whole space를 span한다는 뜻.
Operator의 Outer Product 표현
모든 operator는 ket과 bra의 outer product로 나타낼 수 있다:
열벡터와 행벡터를 곱하면 matrix가 됨:
Dual Correspondence와 Adjoint (Hermitian Conjugate)
화살표로 이어진 것은 서로 복소켤레이다.
켤레전치는 벡터들의 순서를 거울상으로 뒤집고 브라와 켓도 뒤집는 효과를 준다.
이것을 hermitian adjoint 라고 한다.
따라서 일반적으로
연산의 순서를 바꾸면:
따라서 Hermitian의 expectation value는 실수이다.
궁금한 내용
Compton effect가 뭐지
디락 방정식이 뭐지
- Countable의 정확한 수학적 정의가 뭔가?
어리석은 질문이지만 양자역학에 익숙하지 않다면 충분히 할 수 있는 질문이다.
아래 노트에 정리했다.
Quantum Measurement and Context Dependence
Gelfand triple이 워지
AI의 보충 설명
연관 학습 노트
References
강의 ppt 링크를 이곳에