Static Fluctuation-Response Theorem for Continuous Fields

Overview

자극이 시스템 전체가 아니라 공간에 따라 local하게 주어진다면?
Fluctuation-Response Theorem을 공간적으로 연속적인 변수로 확장한 것이다.
자극과 응답이 위치에 따라 달라지며, susceptibility가 두 위치 과 의 함수가 된다.
susceptibility는 위치에 따른 correlation function이 된다.

Symbol Table

Symbol	Meaning
	위치 에서의 microscopic variable
	위치 에서의 외부 자극
	두 위치에 대한 susceptibility
	밀도 요동의 위치에 대한 상관함수
	microscopic local number density
	외부 포텐셜
	섭동이 없을 때의 앙상블 평균

Key Points

설정: 연속적인 perturbation

자극 와 응답 변수 가 공간에 걸쳐 분포할 때, perturbation term은 적분 형태(functional)가 된다:

Fluctuation-Response Theorem의 연속 버전

위치 에서의 평균 변화를 구하기 위해 모든 지점()에서의 자극을 감안한다.
susceptibility를 커널삼아서 를 적분한다는 의미

여기서 susceptibility는 correlation function과 연결된다:

는 functional derivative로, 이산적인 경우의 를 연속으로 확장한 것이다.

밀도 요동에 적용

개 입자 시스템에 외부 포텐셜 이 작용할 때 이렇게 된다.
해밀토니안이 함수 에 대한 functional이 되는 셈이다.

여기서 microscopic local number density는 각 입자가 가지는 점밀도 delta function을 전부 더한 것

밀도에 대한 Fluctuation-Response

위치 에서의 밀도 변화:

susceptibility와 density correlation function의 관계:

여기서 이고, 는 평형 밀도이다.

점 자극의 경우

자극이 한 점 에 집중된 경우, :

물리적 의미: 에서의 섭동이 까지 전파되는 정도가 두 위치 사이의 밀도 상관함수로 결정된다.

Questions & Insights

• 이산 버전에서 가 연속 버전에서 functional derivative 로 확장된다
• Susceptibility 가 두 위치의 함수가 되어, 공간적 상관관계를 담는다
• 균일한 시스템에서는 로 단순화된다 (translational invariance)

Related Concepts

non-local한 경우의 FRT
Static Fluctuation-Response Theorem

• Statistical Physics for Biological Matter (Woo)

References

• Statistical Physics for Biological Matter (Woo), Chapter 9, 식 (9.17)-(9.29)

Notes from Claude

• 이산 버전과 연속 버전의 대응 관계를 기억하면 유도가 자연스럽다:
• 식 (8)은 한 점의 섭동이 공간을 통해 어떻게 전파되는지를 보여준다