Static Fluctuation-Response Theorem

Overview

시스템의 susceptibility(외부 자극에 대한 응답)가 자극이 없을 때의 내재적 요동으로 결정된다는 정리이다.

이 노트에서는 이것의 유도 과정을 다룬다.

Symbol Table

Statistical Physics for Biological Matter (Woo)의
chapter 9 설명 부분을 보고 오기를 추천

Symbol	Meaning
	perturebation이 없을 때 원래 해밀토니안
	perturbation term
	외부 자극 (힘 또는 field)
	에 conjugate한 microscopic variable
	섭동이 없을 때의 앙상블 평균
	microscopic fluctuation
	static susceptibility

Key Points

설정

외부 자극 에 의한 perturbation term:

유도의 핵심 가정

를 구하기 위해 partition function과 Boltzman factor를 이용한 평균값 구하기를 하면 된다.
Perturbation이 충분히 작다는 가정을 하여, exponential을 1차 테일러 전개한다:

이 근사가 전체 유도의 출발점이다.

풀다 보면 나오는 분모를 한번 더 테전해야 하기도 하는구나..

앙상블 평균 계산

섭동이 있을 때 의 앙상블 평균:

분자와 분모를 각각 로 정리하면:

분모를 1차 테일러 전개:

분자와 곱하고 1차항까지만 남기면:

여기서 이다.

Fluctuation-Response Theorem

Average change 를 정의하면:

특히 일 때:

여기서 susceptibility는 이다.

Questions & Insights

• 유도의 핵심은 perturbation이 작다는 가정 하에 exponential을 1차 테일러 전개하는 것
• 이 정리는 평형 상태의 요동을 측정하면 비평형 응답을 예측할 수 있음을 의미한다
• Static한 경우만 다루며, 시간에 따른 동적 응답은 Chapter 17에서 다룬다

Related Concepts

만약 자극이 계 전체가 아니라 local하게 작용한다면?
자극을 준 지점과 반응을 하는 지점 사이 거리까지 고려해야 한다.
아래 노트로 이어진다.
Static Fluctuation-Response Theorem for Continuous Fields

• Statistical Physics for Biological Matter (Woo)
• canonical ensemble에서 Boltzman factor
• Equipartition Theorem

References

• Statistical Physics for Biological Matter (Woo), Chapter 9, 식 (9.1)-(9.5)

Notes from Claude

• 식 (2)의 테일러 전개만 기억하면 나머지 유도는 자연스럽게 따라온다
• Susceptibility의 정의 와 요동-응답 정리의 결과 를 구분하는 것이 중요하다