스라소니 머릿속에는

양자 필기 - Second-Order Energy Correction

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비공식 자료, 책임 안 짐

이것은 양자물리 (학부용, Griffiths) 강의를 듣고 TA가 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
교수님께서 검토하신 자료가 아니므로, 전문성을 보장하지 않습니다.

지난 강의

오늘의 핵심

정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
AI한테 시켜도 되는데 추천은 안 함.

기호 정리

SymbolMeaning
Unperturbed Hamiltonian, perturbation
Unperturbed eigenfunction, eigenvalue
-th order correction
을 로 전개했을 때의 계수
Matrix element (footnote 5 표기)
Energy 차이 (footnote 5 표기)

필기 내용

1. Second-order equation에서 출발

지난 노트에서 차수를 모아 얻은 second-order equation은 다음과 같다.

First-order 때와 똑같이 와 inner product를 취한다.

가 hermitian이므로

이 되어 좌변 첫째 항과 우변 첫째 항이 상쇄된다. 을 쓰면

2. 에는 성분이 없다

First-order wave function correction은 인 state로만 전개했다.

따라서 orthonormality에 의해

왜 으로 골라도 되나? (footnote 4)

에 성분이 있어도 그건 zeroth-order 항 에 흡수시킬 수 있다. 게다가 으로 고르면 이 first order까지 normalized 된다:

(4)의 둘째 항이 사라지므로

도 hermitian이므로 이고, 분자는 절댓값의 제곱이 된다.

이것이 second-order perturbation theory의 fundamental result다.

3. 식 (8)을 읽는 법

  • First order는 diagonal element, second order는 off-diagonal element의 제곱으로 결정된다. 를 구하는 데 는 필요 없고 만 있으면 된다.
  • 분모의 부호: 이 보다 위에 있으면() 기여가 음수, 아래에 있으면 양수다. 즉 state 은 위쪽 state들에 의해 아래로, 아래쪽 state들에 의해 위로 밀린다 (level repulsion).
  • Ground state는 모든 이므로 . Ground state의 second-order correction은 항상 에너지를 낮춘다.
  • 분모가 0이 되면 안 된다. 즉 unperturbed spectrum이 nondegenerate해야 한다. Degenerate한 경우는 양자 필기 - Two-Fold Degenerate Perturbation Theory에서 다룬다.

4. 더 높은 차수 (footnote 5)

Griffiths는 실용적으로 (8)까지가 보통 쓸 만한 한계라고 말한다. 참고로 , 로 쓰면 처음 세 개의 correction은

5. 적용 범위 (Problem 7.4의 comment)

Perturbation theory는 perturbation의 matrix element가 energy level spacing보다 작을 때만 믿을 수 있다.

그렇지 않으면 처음 몇 항이 나쁜 근사가 되거나, 급수 자체가 수렴하지 않을 수도 있다. 수렴하지 않으면 처음 몇 항은 아무 정보도 주지 않는다.

6. 관련 연습문제

  • Problem 7.4: 가장 일반적인 two-level system. Exact energy와 perturbation 결과 비교, 수렴 조건.
  • Problem 7.5: (a) Problem 7.1의 delta bump에 대한 (odd 에서 급수를 닫힌 꼴로 합할 수 있음), (b) Problem 7.2의 harmonic oscillator에 대한 .
  • Problem 7.6: Harmonic oscillator + 약한 electric field . First order는 0, second order 계산 후 exact와 비교.
  • Problem 7.7: Figure 7.3의 half-well perturbation을 numerical하게 풀어서 first-order wave function과 비교.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

1. Ground state가 항상 내려가는 이유를 variational principle로 보기

First order까지의 에너지 는 전체 Hamiltonian 의 trial state 에 대한 기댓값이다. Variational principle에 의해 이 값은 true ground state energy의 upper bound다. 따라서 그 이후의 correction들은 에너지를 낮추는 방향이어야 자연스럽고, 실제로 이다.

2. 의 크기를 대충 가늠하는 방법

Completeness 을 쓰면

이다. Ground state에서는 모든 분모의 크기가 적어도 첫 번째 gap 이상이므로

무한합을 직접 계산하기 어려울 때 order of magnitude를 확인하는 데 유용하다. 우변의 분자는 unperturbed state에서 의 variance라는 점도 기억할 만하다.

3. 왜 에 가 필요 없나 (Wigner’s rule)

일반적으로 wave function을 차까지 알면 energy는 차까지 구할 수 있다. 그래서 만으로 뿐 아니라 까지 구할 수 있고, 실제로 식 (11)에는 와 만 들어 있다.

연관 학습 노트

References

  • Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.), Section 7.1.3, footnotes 4–5, Problems 7.4–7.7

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필기 원본

손필기 없음. Griffiths 교재 본문을 바탕으로 정리함.

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