AM lecture note - Stokes theorem

강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Hodge dual and Lie derivative

오늘의 핵심

필기 내용

Orientation (방향)

교과서 91 page.

Differential forms는 “oriented” spaces 위에서 적분할 수 있다.

뫼비우스 띠는 orientation이 없는 공간의 예시다. (안과 밖, 위와 아래가 구분되지 않아서 그런 것으로 추정)

앞으로의 표기:

Definition: 차원 벡터공간 의 orientation은 다음 동치 관계(equivalence relation)를 기준으로 하는 ordered basis의 선택이다.

두 ordered basis 와 가 같은 orientation을 가질 조건:

for some . 이때 가 양수인 게 중요하다.

: 의 -th exterior product. 1차원 공간이다.

아마 부피들의 공간이라고 해석해도 될 듯?

이 기준이라면, 같은 방향성을 가진 basis를 동등하게 취급할 수 있다.

우리는 에게 2가지 방향이 있음을 알 수 있다.

질문

아무리 고차원이어도 방향은 두 가지 밖에 없단 점이 신기함.

Example: 의 orientation

가 의 basis일 때,

그동안 Cartesian coordinate에서 오른손 좌표계와 왼손 좌표계로 분류하던 게 이런 의미였다.

오른손 좌표계들: , , — 모두 같은 orientation.

왼손 좌표계들: , , — 반대 orientation.

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n-form의 적분

을 위의 oriented coordinate system이라 하자.

를 위의 differential -form이라 하자.

orientation이 고정되면 wedge product는 의미가 없어진다 (orientation fixed → wedge product is meaningless).

-form 의 적분은 고정된 oriented coordinate system에 대해 좌표 선택에 무관하다:

좌표 변환과 Jacobi factor

또 다른 coordinate system 을 도입해 보자.

Volume form 변환에 Jacobi factor가 들어간다:

이라면 두 좌표계의 방향이 같음을 의미.

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Diffeomorphism으로의 일반화

이건 좌표 변환을 diffeomorphism으로 일반화한 것이다.

두 패치 과 에 대해, 좌표계는 의 것이고, 는 의 것이다.

의 smooth diffeomorphism을 고려.

은 orientation을 보존한다고 고려하자. 그러니까,

이때 이 방향 보존을 의미.

적분 범위 에 대해, 치환적분이라는 개념을 diffeomorphism으로 일반화할 수 있다:

Pull-back의 명시적 계산

의 pull back, 를 명시적으로 계산하기:

그래서 결국, 우리가 알던 치환적분 성질이 나오는 것이다:

Example: 극좌표 (Polar coordinate)

에서 로의 사상.

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차원이 다른 경우로의 일반화

두 패치 와 가 차원이 다른 경우로 일반화해보자.

는 원래 에서 정의된 p-form이다.

Example: 1-form의 선적분

, 는 1-form이다.

,

이때, 가 이고, 이 , 가 의 역할이다.

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Stoke’s theorem

이 차원 surface라 하자.

를 의 boundary라 하자.

의 방향이 의 방향을 결정한다.

에 대해, 를 위의 outward normal vector field이라 하자.

Stoke’s theorem: smooth -form인 에 대해서,

Example 1: (Green’s theorem)

이게 바로 Green’s Theorem이다.

Example 2: (가우스 적분 정리)

이것이 바로 가우스 적분 정리이다.

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Stoke’s theorem의 응용: Flux conservation law

의 boundary가 으로 주어져 있다고 하자.

가 closed form ()이라 하면,

이게 바로 flux conservation law이다.

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Closed form과 경로 독립성

,

인 두 점에 대해,

와 를 이어주는 아무 에 대해 위가 성립.

왜냐면 Stokes theorem에 의해, 으로부터 smoothly deformed된 에 대해

를 성립하기 때문.

이게 일 때, 가 보존장이라는 것.

Example: 위상적 효과 (Topological effect)

에서

두 점 , 을 잇는 두 path 과 를 고려.

은 lower hemicycle, 는 upper hemicycle.

두 경로 모두 원점을 우회한다. 원점에 구멍이 있어서, 을 변형한다고 해서 가 되지 못한다.

이것이 공간의 topological effect가 나타나는 부분이다.

Circuit 에 대해,

이라는 polar coordinate를 사용한다면,

라는 점이 명확하다. 이것은 공간의 topology가 적분 결과에 영향을 미치는 대표적인 예시이다.

질문

교수님이 cohomology group을 이 맥락에서 언급하셨다. 이게 뭘까?

궁금한 내용

1. “Modulo”의 정확한 수학적 의미 → orientation 정의에서 “modulo equivalence relation”은 동치 관계를 기준으로 분류한다는 뜻.
2. 아무리 고차원이어도 orientation이 두 가지뿐인 이유 → 가 1차원이므로, 0이 아닌 원소를 양의 rescaling으로 나누면 정확히 두 동치류가 나온다.
3. Cohomology group이란 무엇인가? → 교수님이 언급만 하심. 추후 조사 필요.

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

• AM lecture note - Differential forms
• AM lecture note - Hodge dual and Lie derivative

References

교과서 91 page (David Tong’s Classical Dynamics / Si Li)

다음 강의

AM lecture note - Interior product, Cartan formula and Poincare Lemma

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