AM lecture note - Symplectic form

강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Interior product, Cartan formula and Poincare Lemma

오늘의 핵심

필기 내용

Symplectic vector space

물리적으로는 phase space에 해당한다.

는 symplectic form이며, closed form이다.

를 finite dimensional real vector space라 하자.

is a linear map. 즉, 는 두 개의 벡터장을 받아 1개의 실수를 내뱉는 2-form이다.

즉, 는 skew-symmetric (antisymmetric)하다.

여기서 는 와 같은 의미이다.

Null space of

말하자면, 하나라도 안에 넣으면 무조건 0이 나오는 vector field의 집합.

Non-degeneracy와 symplectic pairing

Definition: A skew-symmetric bilinear map on , is called non-degenerate or symplectic if its null space is trivial: .

is symplectic pairing on , .

모든 물리적 공간은 이 성질을 만족해야 한다.

가 phase space의 공간적 성질을 결정한다는 점과, 2개의 벡터를 받아 실수를 뱉는 연산이라는 점에서, 마치 Riemannian space에서 metric의 역할을 연상케 하나, metric은 symmetric 하지만 symplectic form은 antisymmetric 하다는 점에서 차이가 있다.

Symplectic basis

를 symplectic pairing on 라 하면, 다음을 만족하는 basis 이 존재한다. (이 basis는 phase space에서 과 역할이 같다.)

같은 종류의 basis끼리는 에 넣으면 0이 나온다.

다른 종류의 basis를 하나하나 넣으면 크로네커 델타가 나온다.

이 특성들은 마치 Poisson 괄호와 commutator를 연상케 한다.

Phase space basis를 이용해 두 특성을 다시 쓰면,

Symplectic form의 직접적 표현

위를 만족하는 를 와 의 basis로 직접 나타내면 이렇다.

의 확인

이어야 한다. 그 조건을 확인해 보면,

일반적인 의 coordinate를 사용할 때,

이기 위해,

이어야 함을 알 수 있다.

질문: 위 조건이 Poisson 괄호의 Jacobi identity와 연결되는 걸까? → 그렇다. 다음 강의에서 직접 증명한다.

Symplectic potential

이기에, 를 만족하는 가 존재할 수도 있다.

같은 경우에는,

의문: 는 곧 action이다?

Symplectic basis의 존재 증명

다시 basis 표현으로 돌아와서,

Proof. 를 잡으면, 의 non-degeneracy에 의해, 무조건 다음을 만족하는 가 존재.

즉, conjugate basis를 항상 찾을 수 있다.

① ,

② defines symplectic pairing on

지금 하고 있는 접근법은 Gram–Schmidt 직교화와 유사하다.

Phase space는 vector space의 generalization이라 할 수 있다.

“Coordinates are just illusions.” 그저 표현 방법일 뿐.

의 행렬 표현

를 matrix로 나타내자.

와 는 basis 중 하나.
Anti-symmetry에 의해해

Non-degenerate 조건:

Basis 변환 행렬 에 대해,

질문: 그런데 여기서 matrix 가 뭐지?

이때, 는 우리가 이미 배운 symplectic matrix다.

map: 벡터장과 1-form의 대응

우리가 지금 배우고 있는 것은 모든 역학을 basis independent하게 나타내는 방법이다.

는 interior product이며, 동시에 원래는 두 개의 벡터를 받아야 할 에 1개의 벡터만을 집어넣는 연산이다.
2-form에 1개의 벡터를 넣으면 1-form이 되므로, 는 벡터를 1-form으로 만드는 연산.

Null space is kernel of .

질문: 그런데 kernel이 뭐지?

를 이용해 Hamiltonian vector field를 정의할 수 있다.

Hamiltonian vector field 정의

Definition. 를 위의 scalar function이라 하자. Associated Hamiltonian vector field 를 다음과 같이 정의한다:

즉,

또 다른 말로 하면, 에 대해,

의 예시

를 사용하는 경우,

Validation:

Hamiltonian vector field의 유도

임을 에 적용하면,

즉,

으로, Poisson 괄호와 결부된다!

질문: 이 논리로 Hamilton 방정식을 나타내면 무슨 식인가?

아래 콜아웃은 무시해도 된다. 다음 강의 노트에서 정확한 내용을 다룬다.

Glia의 보충 (2026-05-25)

Symplectic geometry의 언어로 본 Hamilton 방정식

Hamilton 방정식의 coordinate-free 표현은 다음 한 줄이다:

이것이 익숙한 방정식으로 환원되는 과정을 보자. 임의의 observable 의 시간 발전은 Poisson 괄호로(다음 강의에서 배울 내용)

이다. convention 하에서 Poisson 괄호는

이제 를 넣으면 , 이므로,

를 넣으면 , 이므로,

이것이 Hamilton 방정식이다. 즉 라는 하나의 기하학적 등식이, Poisson 괄호 를 통해 개의 Hamilton 방정식으로 분해된다.

여기서 주의할 점: 이지 가 아니다. 시간 발전은 이므로, 자체가 직접 flow의 tangent vector 와 같다고 쓰면 부호가 뒤집힌다. Hamilton 방정식은 로부터 나오는 것이지, 로 성분 비교하면 안 된다.

일반화 하면, 모든 scalar function on 에 대해,

Glia의 보충 (2026-05-25)

임의의 로부터의 Hamiltonian vector field의 물리적 의미

의 Hamiltonian vector field가 시간 발전을 생성하는 것처럼, 임의의 scalar function 의 는 를 보존하는 canonical transformation의 무한소 생성자이다. 가 보존량, 즉 이면, 가 생성하는 flow는 를 불변으로 두는 대칭 변환이다. 이것이 Noether 정리의 Hamiltonian 버전이다.

예시 1: (운동량)

이므로,

이 벡터장이 생성하는 flow는 방향의 공간 병진 이동이다. 이면 그 방향의 병진 대칭이 있고, 는 보존된다.

예시 2: (각운동량, 2차원에서 )

를 적용하면,

와 를 대입하면,

이것은 평면에서의 회전()과 운동량 공간에서의 대응 회전()을 동시에 생성하는 벡터장이다. 정확히 축 둘레 회전의 무한소 생성자.

정리하면, symplectic geometry에서 라는 대응은 “보존량 대칭 변환”의 사전이다. 는 그 특수한 경우로, 에너지라는 보존량이 시간 병진 대칭에 대응하는 것이다.

Symplectic form의 불변성

The symplectic two form is invariant under the flow generated by a Hamiltonian vector field.

를 pull back 해도 여전 하다.

여기에 magic formula (Cartan formula)를 쓰면,

이렇게 증명 끝.

Liouville theorem과의 연결

Liouville theorem phase space is incompressible.

은 volume form이다. 왜 인지 모르겠지만,

이 부분은 보충 설명이 필요.

Lagrangian subspace → 다다음 강의에서 더 자세히 다룰 것이다.

어떤 space에서 Lagrangian이 정의되나? Lagrangian sub-space에서.

Lagrangian sub-space는 가 에 의한 함수로 고정된 space이다.

Definition. 에서 가 isotropic이라 함은,

운동량은 고정(?)되고 만 남았기 때문.

질문: 그럼 속도의 차원은? 위치 속도 둘 다 phase space에 있어야 하는 것 아닌가?

인 경우도 있음에 주목. 아마 자유도 때문?

사실 이다. 그런데 수학자들은 정확한 정체를 밝히기 보단 기능만을 말해주는 걸 좋아한다.

의 injective 성질

질문: 왜 공역이 인 집합을 나눈다는 느낌이 되는 걸까? 이거 잘 모르겠는데.

is injective.

If and 이면,

궁금한 내용

1. 조건이 Poisson 괄호의 Jacobi identity와 연결되는가?
2. Symplectic potential 는 곧 action인가?
3. Basis 변환에서 matrix 의 정확한 의미는?
4. 의 정의와 의미?
5. Hamiltonian vector field로부터 Hamilton 방정식은 어떻게 나타나는가?
6. 이 volume form인 이유는?
7. 의 공역이 인 이유는?

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

다음 강의

AM lecture note - Poisson bracket and Darboux theorem

필기 원본