AM lecture note - Lie Group, Lie Algebra and Moment Map

강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Lagrangian submanifold

오늘의 핵심

• Lie group은 “매끄러운 대칭 변환들의 모임”이고, Lie algebra 는 그 무한소 버전이다.
• Group action은 군이 다양체 위의 점을 다른 점으로 옮기는 사상이다 — 라그랑지안의 와는 무관.
• Lie algebra 원소 마다 위의 벡터장 가 생기고, 이 대응은 Lie bracket을 보존한다 (Prop 3.6.10).
• 가 Hamiltonian vector field이면 인 스칼라 함수 가 존재한다.
• Moment map 는 이 들을 모든 에 대해 패키징한 것이다.

필기 내용

§3.6.1 Lie Group

Symbol	Meaning
	Lie group
	Lie algebra (에서의 접공간)
	Lie bracket (행렬의 경우 교환자 )
	Group action
	점 의 궤도(orbit)
	점 의 안정화군(stabilizer)

Definition 3.6.1: Lie group은 매끄러운 다양체이면서 동시에 군 구조를 가지고, 군 연산(곱셈, 역원)이 매끄러운 사상인 것.

는 연속함수이므로 은 의 열린 부분집합 → 자동으로 매끄러운 다양체 (Example 3.5.4).

군 공리 확인: (닫힘), (항등원), (역원). ✓

군 연산의 매끄러움: 곱셈은 성분이 다항식, 역원은 Cramer 공식으로 인 영역에서 매끄러움. ✓

부분군들의 계층

: 조건 → .

곡선 에 대해 이므로 .

: , 조건 → .

이므로 (반대칭 행렬).

양자역학 연결

Sakurai에서 배운 도 Lie group. 각운동량 연산자 가 의 기저이고, 회전 연산자 가 지수 사상(exponential map)의 예시:

Sakurai의 교환자 관계 가 바로 의 Lie bracket 구조다.

§3.6.1 Group Action (Definition 3.6.3)

용어 주의

여기서 action은 라그랑지안의 와 완전히 다른 단어다. 군이 다양체 위의 점을 다른 점으로 옮기는 **사상(map)**을 의미한다.

군 가 다양체 위에 작용한다는 것:

두 조건: , .

Action의 언어들 (Def 3.6.6):

• Transitive: 궤도가 전체 (단 하나의 궤도)
• Free: 모든 점의 stabilizer가 뿐

Example 3.6.5: 벡터장 의 흐름 는 -action. 이 군 구조와 호환. Hamiltonian vector field의 흐름이 를 만족하는 것 = 이 -action이 symplectomorphism으로 작용하는 것.

Example 3.6.7 (Hopf fibration): 이 에 free하게 작용:

§3.6.1 Lie Algebra와 벡터장 (Prop 3.6.10)

가 에 작용할 때, 마다 위의 벡터장 가 생긴다:

Proposition 3.6.10: 이 사상 은 Lie algebra morphism:

에서의 Lie bracket이 위 벡터장의 Lie bracket으로 정확히 보내진다.

양자역학 연결

를 만족하는 연산자들이 힐베르트 공간 위에서 작용하는 것이 정확히 의 Lie algebra morphism이다. Sakurai가 교환자 관계 하나만으로 고유값, 올림/내림 연산자를 전부 유도한 것이 Lie algebra의 대수적 구조를 활용한 것.

§3.6.2 Hamiltonian Action과 Moment Map

Hamiltonian action으로 가는 단계

가 symplectomorphism으로 작용 → → → 는 closed 1-form.

closed이면 항상 exact인 건 아님. (simply connected 등)이면 Poincaré Lemma에 의해:

는 를 Hamiltonian vector field로 만드는 스칼라 함수. 단, 상수만큼의 불확정성이 있음: .

Definition 3.6.12: 이 상수 불확정성을 군 전체에 걸쳐 일관되게 고정할 수 있을 때 action을 Hamiltonian이라 한다. 조건:

조건 ②는 이 Lie algebra morphism임을 요구 — Prop 3.6.10의 이 morphism인 것과 같은 구조.

Moment Map (Definition 3.6.12)

를 모든 에 대해 패키징:

의 정확한 역할:

• : 특정 를 고정했을 때 를 Hamiltonian vector field로 만드는 스칼라 함수.
• : 특정 점 을 고정했을 때 모든 에 대한 값을 한꺼번에 담은 것.

Example 3.6.14: 평행이동 대칭 → 선운동량

세팅: 이 위상공간 에 평행이동으로 작용.

Lie algebra: . 기저 는 방향 평행이동의 생성자.

벡터장: 가 생성하는 벡터장

계산: 에 대해

, 이므로

Moment map:

뇌터 정리와의 연결

평행이동 대칭의 보존량이 선운동량 라는 것이 moment map 언어로 정확히 표현된다. 부호 는 Si Li의 규약에서 오는 것.

Example 3.6.15: 회전 대칭 → 각운동량

세팅: 이 에 회전으로 작용.

에 대해 이므로 은 symplectomorphism으로 작용. ✓

Lie algebra: , 생성자 .

벡터장:

계산: 에 대해

따라서

Moment map:

으로 확장 (Example 3.6.16): 이 에 작용할 때, 의 기저 (성분이 1, 성분이 )에 대한 Hamiltonian은

일 때 이것이 바로 각운동량의 성분 . ✓

“Moment”라는 이름의 유래

“Moment”는 역학의 돌림힘(torque) 개념에서 왔다. 각운동량이 프랑스어로 moment cinétique이고, 수학자들이 이 개념을 추상화하면서 이름을 그대로 가져왔다.

대칭	Lie group	Moment map	보존량
평행이동			선운동량
회전			각운동량 (: )

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

• AM lecture note - Lagrangian submanifold
• AM lecture note - Symplectic form and Hamiltonian vector field
• AM lecture note - Poisson bracket and Darboux theorem
• AM lecture note - Canonical transformation revisited

References

• Si Li, Classical Mechanics and Geometry, Chapter 3, §3.6.1–3.6.2 (pp. 121–125)

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