강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

오늘의 핵심

Symbol	Meaning
	심플렉틱 다양체
	포함 사상 (inclusion map)
	의 로의 pull-back
	configuration space 의 여접다발 (cotangent bundle)

심플렉틱 다양체 의 부분다양체 이 라그랑지안 부분다양체(Lagrangian submanifold) 이려면:

이것은 각 점 에서 접공간 이 의 선형 라그랑지안 부분공간(Def 3.3.5)임을 의미한다.

위상공간 에 표준 심플렉틱 형식 . 부분다양체 를 다음 포함 사상으로 정의:

Pull-back 계산 규칙: 위에서 이므로

대입하면:

를 이용해 인 쌍으로 묶으면:

따라서 ↔ 모든 에 대해

Poincaré Lemma에 의해 이것은 다음과 동치:

는 라 그 랑 지 안 부 분 다 양 체

이 를 의 생성함수라 한다.
생성함수 정의를 에 대입하면 이 성질이 자명하다.

, , 으로 정의된 :

생성함수: 이면 , . ✓

세 표현이 같은 것을 말하고 있다:

변 환 라 그 랑 지 안 부 분 다 양 체

Legendre 변환: 는 접다발 (속도 공간)에서 여접다발 (운동량 공간)으로의 사상

을 정의한다. 이 사상의 상(image)이 안의 라그랑지안 부분다양체다 — Hessian 가 non-degenerate할 때. 이 조건이 심플렉틱 언어로는 의 non-degeneracy에 해당한다.

Hamilton-Jacobi 방정식: 주 함수 에 대해 . 이것이 바로 생성함수를 액션으로 두었을 때()이다. HJ 방정식의 해가 존재 ↔ 위상공간에 라그랑지안 부분다양체가 존재.