스라소니 머릿속에는

AM lecture note - Canonical transformation revisited

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강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Poisson bracket and Darboux theorem

오늘의 핵심

  • 확장 위상 공간 위에 수정된 2-form 를 정의하면, Hamilton 방정식이 이라는 단일 기하학적 조건으로 표현된다. 가 Hamilton equation에서 사용되는 미분연산자들.
  • Canonical transformation은 이 구조를 보존하는 변환 로 재정의된다.
  • Generating function의 존재는 Poincaré Lemma에서 자연스럽게 따라온다.
  • Poincaré 적분 불변량: 앙상블의 순환 는 시간 발전에 대해 정확히 보존된다.

필기 내용

확장 위상 공간과 의 동기

SymbolMeaning
위상 공간
확장 위상 공간 (좌표: )
표준 symplectic form
시간의존 Hamiltonian
수정된 2-form
시간 좌표로의 사영

원래 와 의 phase space 를 잘 쓰다가,
갑자기 왜 로 시간 차원을 확장하는가?

시간의존 canonical transformation 에서는 가 일반적으로 성립하지 않는다. 대신 성립하는 것은

즉, symplectic form 만으로는 시간의존 변환의 기하학을 담을 수 없다.
은 시간에 따라 변화하는 phase space 를 모든 시간에 대해 층층히 쌓아 올린 것이라고 이해하면 되겠다.

공간이 달라졌으니 Hamiltonian 정보를 포함한 수정된 2-form이 필요하다.

이 는 차원 확장 위상 공간 위의 2-form이다.

주의

는 symplectic form이 아니다 — 홀수 차원 공간에서는 non-degenerate 2-form이 존재할 수 없다. 의 null direction이 정확히 하나 있고, 그것이 Hamilton 역학의 시간 발전 방향이 된다.

Pushforward

의 pushforward 는 접선 벡터의 시간 성분을 추출하는 연산이다. 확장 위상 공간의 점 에서 접선 벡터

에 대해

와 방향 성분은 모두 소멸하고 성분만 남는다.

Proposition 3.4.1: Hamilton 방정식의 기하학적 재정식화

Proposition 3.4.1

위에 다음 두 조건을 만족하는 벡터장 가 유일하게 존재한다:

  1. (시간 방향 성분이 1)
  2. (의 null direction)

조건 ①의 의미: 의 형태가 다음으로 제한된다.

시간 방향은 고정되고, 와 가 미지수이다.

조건 ②로 미지수 결정: 를 성분으로 풀어쓰면

이에 를 interior product하면

성분:

성분:

따라서

Hamilton 방정식과의 연결: 적분곡선 에 대해 이 정확히

를 준다. 즉, 하나가 Hamilton 방정식 전체를 인코딩한다.

Definition 3.4.2: Canonical Transformation의 기하학적 정의


위 도표에서 은 아마 시간을 의미하는 것.

, 일 때, 미분동형사상 이 canonical transformation이려면:

조건 ①: — 시간 좌표를 보존한다.

이 조건에 의해 는

의 형태를 가진다.

조건 ②: 함수 가 위에 존재하여 .

이 조건을 풀어쓰면

정리하면

Generating Function의 존재 — Poincaré Lemma 적용

가 star-shaped이면, 위의 closed 1-form에 Poincaré Lemma를 적용하여

인 함수 가 존재한다. 이 가 바로 이전에 다뤘던 generating function이다.

Canonical Transformation이 역학을 보존하는 이유

이면

즉, 는 의 적분곡선을 의 적분곡선으로 보낸다. 다시 말해, 에 대한 Hamilton 방정식의 해가 에 대한 Hamilton 방정식의 해로 변환된다. 이것이 canonical transformation이 역학의 형태를 보존한다는 Prop 2.4.5의 기하학적 이유이다.

§3.4.2 Poincaré의 적분 불변량

확장 위상 공간 에서, 를 시각 에서의 위상 공간 내 닫힌 곡선(closed curve)이라 하자. 는 단일 입자의 궤적이 아니라, 같은 시각에 여러 초기 조건들이 이루는 앙상블이다.

각 초기 조건을 Hamilton 방정식에 따라 시간 발전시키면, 나중 시각 에서 또 다른 닫힌 곡선 를 얻는다. 확장 위상 공간에서 와 를 잇는 관(tube) 의 “세로 방향” 곡선들은 모두 의 적분곡선(= 개별 입자의 고전 궤적)이다.

1단계: 위의 모든 점에서, 곡면에 접하는 벡터 중 하나는 이다. 이므로, 2-form 를 위에서 적분하면

2단계: 로 쓸 수 있다. 여기서

이 를 Poincaré-Cartan 1-form이라 부른다. Stokes 정리에 의해

3단계: 와 는 각각 슬라이스 위에 있으므로, 그 위에서 이다. 따라서 의 항이 사라지고

즉, 는 Hamiltonian 시간 발전에 대한 정확한 불변량이다. 이 결과는 시간 간격의 길이나 Hamiltonian의 시간 의존성에 관계없이 항상 성립한다.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

Glia의 보충 (2026-05-29)

Poincaré-Cartan 1-form 의 물리적 의미, action variable, 그리고 Poincaré 적분 불변량과 adiabatic invariant의 차이에 대한 토론 정리.

Poincaré-Cartan 1-form의 물리적 의미

고전 궤적 을 따라 를 적분하면

Legendre 변환 에 의해, **를 궤적 따라 적분하면 작용(action)**이 된다. 따라서 는 “미소 작용(infinitesimal action)“이다.

에서 를 제외한 는 canonical 1-form (또는 Liouville 1-form)으로, 그 exterior derivative가 symplectic form:

Action Variable

1자유도 주기 운동에서, 에너지 가 고정되면 위상 공간의 궤적은 닫힌 곡선이다. Action variable은 이 닫힌 궤적이 둘러싸는 위상 공간 면적:

SHO의 예: 이면, 궤적은 - 평면의 타원이고

맥락의 역할
위상 공간 기하닫힌 궤적이 둘러싸는 면적
Adiabatic 과정매개변수를 천천히 바꿀 때 근사적으로 보존
구 양자론양자화 대상: → SHO에서
적분 가능 계action-angle 변수에서 토러스 위 등속 운동의 “반지름”

Poincaré 적분 불변량 vs. Adiabatic Invariant — 핵심 구분

둘 다 를 계산하지만, 적분 경로의 물리적 의미가 다르다.

Poincaré 적분 불변량: 는 한 시각에 여러 초기 조건들의 앙상블이 이루는 닫힌 곡선이다. 단일 입자의 궤적이 아니다. 이 불변량은 Hamiltonian 역학의 정확한 결과이며, 시간 간격이나 Hamiltonian의 시간 의존성에 관계없이 항상 성립한다.

Adiabatic invariant: 의 적분 경로는 단일 입자의 한 주기 궤도이다. 매개변수가 변하면 궤도가 닫히지 않으므로, 를 정의하려면 매개변수 변화가 한 주기보다 훨씬 느려야 한다 (adiabatic 조건). 이 조건 하에서 는 근사적으로 보존된다.

Poincaré 적분 불변량Adiabatic invariant
적분 경로앙상블 (여러 입자, 한 시각)단일 입자의 한 주기 궤도
정확성정확히 보존근사적으로 보존
조건없음 (항상 성립)매개변수 변화가 한 주기보다 느려야 함

연관 학습 노트

References

  • Si Li, Classical Mechanics and Geometry, Chapter 3, §3.4.1–3.4.2 (pp. 108–111)

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