ED lecture note - Covariant Formulation of Electrodynamics

강의 필기

이것은 Electrodynamics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

ED lecture note - Special Relativity and Lorentz Transform

오늘의 핵심

• Four-vector , 크기(square magnitude):
• Contravariant index는 위에, covariant index는 아래에 — raising/lowering은 metric tensor 로
• Space index를 올리고 내리면 부호가 바뀌고, time index를 올리고 내리면 부호가 안 바뀜
• D’Alembertian → 바로 wave equation의 연산자
• 전기장·자기장 전체를 antisymmetric 2nd rank tensor 로 표현 가능
• 맥스웰 방정식 4개가 와 두 줄로 압축
• ==EM field의 Lorentz 변환: (텐서 변환)==

4-vector of current density

4-vector of potentials(, )

Index의 위치에 주의하라! 미분 연산은 superscript에서 공간성분의 부호가 -이다.

Field Strength Tensor

Dual Field Strength Tensor

CGS unit에서 방정식과 4-Vector expression

	CGS 방정식	4-Vector 표현
맥스웰 방정식 (Potential wave equation)
맥스웰 방정식 (Field–potential equation)
Potential wave equation
Continuity equation
Lorentz condition
Lorentz force

방향으로 등속이동할 때 전자기장 Lorentz transform

필기 내용

지난 시간 배운 것

• Four vector: 로렌츠 변환을 따르는 벡터

예시로, 4-velocity의 경우, 시간 성분()는 광속에 Lorentz factor를 곱한 것이며, 나머지 공간 성분()은 속도 에 Lorentz factor를 곱한 것이다.

는 입자 속도 에 대한 Lorentz factor

• 에너지/운동량으로 이뤄진 4-vector:

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Mathematical Properties

Useful Notations (Conventions)

Four-vector 표기:

Square magnitude:

Subscript convention 도입:

Time coordinate는 부호 그대로. Space coordinate는 부호 거꾸로.

Square of 4-vectors:

아인슈타인 합 규약을 사용하면 그냥 .

비슷하게, 서로 다른 두 벡터에 대해서도:

Tensor notation: , , ,

• Raising / lowering of space index → changes the sign
• Raising / lowering of time index → doesn’t change the sign

Trace:

Kronecker delta:

Metric tensor:

Index raising / lowering 에 의한 부호 변화 규칙을 저장한 것.

Metric tensor를 이용해 index 위치를 바꿀 수 있다.

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Partial Derivative Operator

Index의 위치에 주의하라! 미분 연산은 superscript에서 공간성분의 부호가 -이다.

아마도 미분연산자와 4-vecotr의 index위치가 다를 때, 모두 양의 부호로 미분 연산이 적용되기를 노린 모양이다.

Laplacian in 4D (D’Alembertian):

달랑베르시안. 이게 바로 wave equation에서의 와 정확히 같다.

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Lorentz Transformation

좌표 벡터:

두 행렬의 스칼라 곱:

Covariant 좌표 벡터:

Scalar product of four-vector:

Linear transformation:

Norm 는 invariant. 즉:

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Covariance Property of Electrodynamics (Section 11.9)

Covariance of Maxwell equation / Lorentz force under L.T.

→ , , , 가 LT에 대해 잘 정의된다.

Continuity Equation

4-vector of ,

Wave equation이 된다:

Lorentz condition:

갑자기 chapter 11부터 단위를 바꾼다. MKS unit → CGS unit (양자에서도 쓰던 거)

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and field

맥스웰 방정식 중 포텐셜과 정겨: ,

성분 표기:

와 전체를 antisymmetric 2nd order tensor로 나타낼 수 있음.

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Field Strength Tensor

Dual Field Strength Tensor

로부터 , 로 바뀐 형태.

맥 방이 어찌 바뀌는지 봐라.

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Maxwell Equations in Covariant Form

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CGS unit에서 방정식과 4-Vector expression

	CGS 방정식	4-Vector 표현
맥스웰 방정식 (Potential wave equation)
맥스웰 방정식 (Field–potential equation)
Potential wave equation
Continuity equation
Lorentz condition
Lorentz force

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활용 예시

Transformation of Electromagnetic Field

전기·자기장은 텐서 의 element.

그럼 , 을 어떻게 LT로 얻을 수 있나?

, 는 의 element.

: Lorentz transform matrix.

예시) 방향으로 속도 로 이동할 때 L.T.

중간 계산:

답:

역변환 관계는 이렇다.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

• ED lecture note - Special Relativity and Lorentz Transform

References

Jackson Classical Electrodynamics, Chapter 11 (Section 11.9)

다음 강의

ED lecture note - Moving Charge Fields and Invariant Green Function

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