스라소니 머릿속에는

ED lecture note - Special Relativity and Lorentz Transform

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강의 필기

이것은 Electrodynamics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

ED lecture note - Circular Aperture Diffraction and Optical Theorem

오늘의 핵심

  • 갈릴레이 변환은 뉴턴 역학은 불변이지만, 파동방정식(Maxwell)은 불변이 아님 → Lorentz 변환이 필요
  • Lorentz 변환은 ① Newton + Maxwell 방정식 불변, ② 광속 불변 두 가지 공리에서 출발
  • 시공간 좌표를 로 정의하면 내적이 두 관성계에서 보존됨
  • Lorentz 변환은 hyperbolic rotation으로 표현되며, 에서 갈릴레이 변환으로 환원됨
  • Four-vector: Lorentz 변환을 따르는 시공간 속 벡터. 3-vector의 자연스러운 확장
  • Proper time : 움직이는 좌표계에서 흐르는 시간.
  • Light cone: 두 사건의 인과적 관계를 시공간 간격 의 부호로 분류

필기 내용

Chapter 11 Special Theory of Relativity

동기: 전자가 얼마나 빨리 이동해야 빛이 생기나? 라는 질문에 답하기 위해, 광속에 가까운 운동을 다룰 수 있는 coordinate transform을 배워야 한다.

설정: 두 관성계에 관해서만 논의한다. 한 관성계가 다른 관성계에 대해 의 속도로 이동할 때.

Galilean Transformation

속도 변환:

편미분 변환:

뉴턴 역학에서 불변성 확인:

Newton’s law:

이게 무슨 논리지?

갈릴레이 변환에서 이므로 퍼텐셜이 같아지고, 따라서 뉴턴 방정식이 불변함.

파동방정식은 불변이 아님:

갈릴레이 변환 후:

이거 이렇게 풀기 하는 게 맞음?

파동방정식의 형태를 무너뜨리는 추가항 가 생겼다. 이래서는 안 된다! 맥스웰 방정식과 파동방정식을 보존하는 transformation이 필요.

Lorentz Transform

이것을 만드는 두 가지 재료:

① Newton’s equation of motion과 Maxwell equation이 invariant할 것.

② 광속 불변: Speed of light (Maximum speed of objects) is constant.

Lorentz Transformation Relation

와 라는 두 inertial frame을 고려.

  • : , :
  • 일 때, 와 의 원점은 같았다.
  • 는 에 대해 direction으로 의 속도로 이동 중.
  • 에서 빛을 잠깐 켰다끄다.

-frame에서 빛의 경로:

광속 불변이므로, -frame에서 빛의 경로도:

homogeneous하고 isotropic한 space-time coordinate라면 다음 등식을 만족해야 한다:

이때 는 scale factor.

에서 로의 역변환을 고려하면, 이어야 한다. 따라서:

4-벡터 표기법 도입:

이렇게 를 정의하면, 두 좌표계에서 의 내적은 같다:

변환 행렬 구하기:

, 은 받아들이고 넘어가자.

미지의 값을 을 통해 찾는다.

좌변을 풀면:

따라서:

추가 조건: 좌표계의 원점을 좌표계와 좌표계에서 나타내자.

에서는 등속 로 이동 중:

에서는 원점이니까 정지 중:

앞으로 광속과 속도의 비를 라고 두겠다. 따라서 .

에 원점의 상황 대입:

이를 세 연립방정식에 대입하면:

이제 전부 풀 수 있는데… 복잡하긴 마찬가지.

를 넣어 두 식을 같게 만드는 를 찾는다:

를 선택하면 → 모순 발생.

를 선택하면, 대입 시:

Lorentz factor 정의:

따라서 .

나머지 값들도 순서대로 대입하면:

과 의 부호가 동시에 바뀌어도 수학적으로는 문제 없다. 이러면 안 될 거 같은데?

올바른 부호 결정:

로 넘어간 것이 문제였다.
, 로 두어 을 지켜야 했다.

또 이어야 말이 되므로, 진짜 답은:

최종 Lorentz Transformation:

를 다시 넣으면:

극한 확인: , 이면 , → 갈릴레이 변환 환원. 이제야 정확하게 변환이 이루어졌다.

Boost와 Hyperbolic Function 표현

Boost 의 정의:

이러면 와 의 관계를 hyperbolic function으로 나타낼 수 있다:

실제 좌표로 쓰면:

hyperbolic function이란 점에서 다르긴 하지만, 마치 회전 변환처럼 생겼다.

Lorentz transform matrix

내부에 들어가는 원소가 삼각함수가 아니라 하이퍼볼릭 삼각함수인 만큼, 그의 역변환은 pesudo-orthogonal하다.
임을 이용해 찾아보면,

Four Vectors

대학원에서 배우는 개념인 four vector를 소개한다.

Four Vector : → Lorentz transform property를 따르는 시공간 속 벡터.

notation: 앞으로 4-vector는 볼드체로 쓰고, 3-vector는 화살표 기호를 쓴다.

원래 우리가 알던 3-dimension vector: → orthogonal transformation property

four vector 공간과 가 같지 않겠지? light cone 밖에는 four vector가 정의 안 되어야 할 것 같다.

라고, 3-vector를 정의.

4-vector 의 일부, spatial element만 분리해 3-vector

Generalized Lorentz Transform:

이때, 은 에 평행, 는 에 직교하는 성분.

에서 스칼라 는 의 크기겠지? 그래야 하는데?

Invariance:

Scalar product invariance:

Light Cone

고수님이 교과서 보라고 하심. 이미 아는 내용이다.

두 사건 , 가 있을 때, 시공간에서 사건 사이 거리를:

로 정의.

  • Case 1) :
    Light cone 내부에서 일어나는, 인과적으로 연결할 수 있는 두 사건. time like separation이라 부른다.

  • Case 2) :
    인과적으로 이어질 수 없는, 거의 동시간에 다른 공간에서 일어나는 독립 사건. space like separation이라 부른다.

  • Case 3) :
    이건 빛의 경로가 있는 사건. light like separation이라 한다.

Proper Time

  • 멈춘 coordinate 에서 흐른 시간:
  • 움직인 coordinate 에서 흐른 시간: → 이게 proper time이다.

왜 앞서 본 변환식 과 결과가 반대처럼 보이나?

Relativistic Doppler Shift

phase of wave is invariant:

wave number 4-vector: 𝕜

이다. 신기하다!
phase 를 4-vector 내적 형태로 쓰려면 시간 성분의 짝이 여야 하기 때문.

Glia의 보충 설명 — 인 이유

위상 는 Lorentz 불변량이다. 이것을 4-vector 내적으로 쓰면:

(교과서 표기)이므로 가 되려면 .

진공에서 내적 불변성 확인: 진공의 분산 관계 를 쓰면:

광자의 4-momentum은 null vector (light-like). 4-velocity의 에 대응하는 광자 버전.

Lorentz transform:

유도 어떻게?

여기서 는 빛의 진행방향이 와 이루는 각도.

4-Velocity

에서 가 으로 움직일 때.

책에서 왜 봐라!

Transformation of velocities shows that they are not 4-vector.
하지만 는 4-vector이다.

가 proper time일 때:

에너지와 운동량

왜지

도 four-vector다.

궁금한 내용

Galilean transform에서 Newton's law 불변 논리

이므로 퍼텐셜이 같아지고 뉴턴 방정식이 불변함. 실제로는 거리 자체가 불변이라는 사실을 활용.

계산 시 operator product 주의

가 맞는 계산. operator라서 교환법칙이 성립하므로 형태로 쓰는 것도 동일.

proper time이 변환식 와 반대처럼 보이는 이유

미답변 — 두 상황의 물리적 설정이 다름. 변환식은 한 사건에 대해 두 좌표계의 좌표를 연결하는 것이고, proper time은 한 입자의 worldline을 따라 적분하는 것.

의 의미 (Generalized Lorentz Transform)

에서 는 스칼라.

AI의 보충 설명

Glia의 보충 설명 — 왜 일반 속도 는 4-vector가 아닌가?

강의에서 “책에서 왜 봐라!”라고 넘어간 부분. 교과서(Jackson 11.4)의 설명을 정리한다.

핵심 이유: 보통 속도 를 정의할 때 나누는 는 Lorentz 불변량이 아니다. 시간 는 좌표계마다 다르게 변환되기 때문.

속도 변환 법칙 유도 (Jackson 11.18 이용):

가 에 대해 방향으로 속도 로 움직일 때, 좌표 미분의 Lorentz 변환은:

속도 성분은 , 으로 정의된다. 이를 이용하면:

이 변환식이 Lorentz 변환 (11.22)의 형태와 다른 것을 확인할 수 있다. 분모에 가 붙어 있어서 단순한 선형 변환이 아니기 때문에, 는 4-vector가 아니다.

극한 확인: 이면 분모 이 되어 갈릴레이 변환 로 환원된다. 또한 이면 도 확인 가능 (광속 불변).

Glia의 보충 설명 — 4-velocity가 진짜 4-vector인 이유

문제는 가 불변이 아닌 것이었다. 해결책은 불변량인 proper time 로 나누는 것.

, , 를 각각 , , 에 대한 로런츠 인수라 하면, Jackson (11.34)에 따라:

이 관계를 속도 변환식 (11.31)에 대입하면 (Jackson 11.35):

이것은 의 Lorentz 변환인 (11.22)와 완전히 같은 형태다. 따라서 네 양:

는 4-vector를 이룬다. 이것이 4-velocity다.

Proper time 를 이용한 동등한 표현 (Jackson 11.36):

임을 이용했다 (proper time 정의에서).

4-velocity의 내적 불변성 확인:

즉 4-velocity의 크기는 항상 로 일정하다. 모든 관성계에서 불변.

Glia의 보충 설명 — 4-momentum과 에너지

강의 필기의 , 가 왜 성립하는지.

4-velocity에 rest mass 를 곱하면 4-momentum 를 얻는다:

여기서 비상대론적 극한 에서 이면 로 뉴턴 운동량과 일치한다.

시간 성분 에서 에너지를 읽으려면:

→ 정지 에너지 + 운동 에너지. 따라서:

4-momentum의 내적 불변성:

이를 정리하면 유명한 에너지-운동량 관계식:

연관 학습 노트

References

Jackson Classical Electrodynamics, Chapter 11

다음 강의

ED lecture note - Covariant Formulation of Electrodynamics

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