스라소니 머릿속에는

ED lecture note - Moving Charge Fields and Invariant Green Function

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강의 필기

이것은 Electrodynamics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

ED lecture note - Covariant Formulation of Electrodynamics

오늘의 핵심

  • 등속운동하는 점전하의 전자기장: frame에서 쿨롱 법칙으로 구한 뒤, 역 Lorentz 변환으로 frame으로 가져온다.
  • 결과: frame에서 자기장이 발생하며, 비상대론적 극한에서 비오-사바르 법칙이 복원된다.
  • 상대론적 극한 (): 의 peak가 배 높아지고 폭은 배 좁아진다 — “빔처럼” 압축됨.
  • 파동방정식 의 해: 4차원 그린 함수 도입.
  • 적분의 극점 우회 방법에 따라 지연(retarded)/선진(advanced) 그린 함수가 결정된다.
  • Retarded Green function: — 인과율 만족.
  • 공변 형태: — proper Lorentz 변환 하에서 불변.

필기 내용

Part 1. 이동하는 전하가 만드는 전자기장 — 좌표 변환을 이용

문제 설정


전하 가 방향으로 속도 로 등속운동. 관찰점 에서의 전자기장을 구한다.
frame은 고정된 좌표계,
frame은 움직이는 전하를 원점에 둔 채 이동하는 좌표계이다.

목표: frame 기준으로 관찰자 위치에서 전자기장을 계산한 뒤, field strength tensor를 Lorentz transform하여 frame에서 전자기장을 구한다.

  • 로 움직이는 frame 을 생각. 에서 두 좌표는 같다.
  • frame에서 관찰자의 좌표:
  • frame에서는 관찰자가 로 이동하며 멀어지고, 전하는 원점에 가만히 있는 상황.

시간 변환 관계 (인 K-frame에서의 관찰자):

frame에서 전자기장

에서 전하는 정지해 있다. → 단순히 쿨롱 법칙 적용. 자기장은 없다.

과 를 대입하면:

역 Lorentz 변환으로 frame 전자기장 획득

지난 강의에서 유도한 역변환 관계:

대입하면:

신기하게도, 에서 자기장이 0임에도 불구하고 frame에서는 축 방향의 자기장이 발생한다. Boost가 커질수록 도 커진다.

비상대론적 극한 (, )

이것은 정확히 비오-사바르 법칙의 결과:

비오-사바르 법칙이 Lorentz 변환의 비상대론적 극한으로 복원됨을 확인.

상대론적 극한 ()

  • 에서 가 peak: → 비상대론적 대비 배 증폭
  • Peak의 폭: → 가 클수록 더 좁아짐.

즉, 전하가 빠르게 움직일수록 peak가 높아지고 폭이 좁아진다 — 전자기장이 운동 방향에 수직인 방향으로 “빔” 형태로 집중된다.

이것은 홀함수(odd function)로, 에서 양수, 에서 음수.

두 그래프를 통해 이동하는 전하는 비등방적으로 전자기장을 방사함을 알 수 있다.

멈춰있는 전하의 전기장은 쿨롱 법칙을 통해 익히 알고 있듯, 등방적이다.

각도 로 표현

전기장을 관찰자와 전하 이동 방향 사이 각도 를 이용해 나타낼 수 있다.

따라서:

전기장은 최종적으로

  • 또는 (운동 방향): → 가 크면 약해짐
  • (수직 방향): → 이쪽이 더 크다

가 클수록 항이 살아나며 비등방성이 강해진다.

Part 2. 파동방정식의 공변 풀이 — 불변 그린 함수 (Jackson §12.2 / §12.11)

배경: Maxwell 방정식 → 파동방정식

아래 식이 맥스웰 방정식의 네 식 중 파동방정식으로 이어지는 두 가지 방정식을 한번에 나타낸다.

포텐셜에 대한 파동방정식으로 바꿀 수 있다.

Lorenz 조건 적용:

적용하면 파동방정식이 남는다.

이 비동차 파동방정식을 풀기 위해 4차원 그린 함수를 도입한다. 로렌츠 변환에 불변인 그린 함수를 찾는 것이 목표.

4차원 그린 함수의 정의

Boundary 조건이 없을 때, 는 와 의 차에만 의존한다:

푸리에 변환으로 -공간에서 풀기

를 에 적용하면:

대입하면:

따라서:

적분을 먼저 분리하면 ():

분모 에서 두 개의 단순 극점이 생긴다. 적분이 이대로는 ambiguous — 어떻게 극점을 우회하느냐가 핵심.

복소 적분 — 극점 우회와 두 가지 그린 함수

를 복소 변수로 취급. 지수인자 의 수렴 조건:

에서닫기에서닫기

경로 (retarded): 두 극점 모두 실수축 위쪽으로 약간 우회

일 때, 유수 정리 적용:

인 경우만 살아남아:

각도 적분 수행 ():

삼각함수 곱을 지수함수로 변환하면 남은 적분이 디랙 델타:

여기서 .

이것이 지연(retarded) 그린 함수다. 소스 시각 이 관측 시각 보다 항상 이전 → 인과율 만족.

경로 (advanced): 극점 실수축 아래쪽으로 우회 → 선진 그린 함수:

공변 형태 (Lorentz 불변 표현)

핵심 항등식:

세타함수와 결합하면:

왜 Lorentz 불변인가?

세타함수 만 보면 Lorentz 불변인지 불분명해 보인다. 그러나 이 표현이 사용되는 곳에서는 항상 , 즉 (광원뿔 위)에서만 0이 아니다. 광원뿔 위의 미래/과거 방향은 proper Lorentz 변환으로 바뀌지 않는다. 따라서 세타함수가 선택하는 조건 자체가 Lorentz 불변이다. 은 소스점의 전방 광원뿔 위에서만 0이 아님.

파동방정식의 일반해

이 뭐지?

동차 파동방정식 의 해다. 물리적으로는 에서 소스가 없을 때 이미 존재하던 “입사(incoming)” 포텐셜. 비동차 방정식의 해는 “특수해(그린 함수 적분 항) + 동차해”의 꼴이므로, 은 바로 그 동차해에 해당한다. 비유: 1D에서 의 일반해가 인 것처럼.

복사장(radiation field): outgoing과 incoming의 차이

점전하의 4-전류 (Jackson 12.138–12.139)

관성계 에서 위치 를 따라 움직이는 점전하 의 전하·전류 밀도:

이를 manifestly covariant한 형태의 4-전류로 쓰면, 전하의 고유시간 와 4-좌표 를 도입하여:

여기서 는 4-속도. 이것을 (12.134)에 대입하면 Chapter 14의 Liénard-Wiechert 포텐셜로 이어진다.

궁금한 내용

invariance?

과 의 공변 형태에서 세타함수 가 Lorentz 변환에 불변이라고 하는데, 왜 이게 invariant under Lorentz transform이라고 하는 거지?

Glia의 보충 설명

위의 “왜 Lorentz 불변인가?” 팁을 참고. 핵심은 세타함수 홀로는 불변이 아니지만, 항상 와 함께 등장하기 때문에 인 광원뿔 위에서만 의미가 있다는 것. 광원뿔의 미래/과거 구분은 proper Lorentz 변환으로 바뀌지 않으므로, 조합 전체는 불변이다.

이 뭐지?

위의 팁 참고.

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

Jackson Classical Electrodynamics, Chapter 12 (§12.2, §12.11)

다음 강의

필기 원본

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