스라소니 머릿속에는

QM lecture note - Berry's Phase

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강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Adiabatic Approximation

오늘의 핵심

Berry phase를 parameter space에서 닫힌 적분으로 나타낸다. (parameter가 천천히 바뀌다가 다시 원래 값으로 돌아오는 경우를 고려려)

전자기학Berry’s phase
Vector potential Berry connection
Magnetic field Berry curvature
Aharonov-Bohm phase = flux = flux of
Gauge transformation Phase convention 변경 (아래)
실제 공간Parameter space

필기 내용

Sakurai 5.6.3 Berry’s Phase, 5.6.4 Example: Berry’s Phase for Spin 1/2

Symbol table

SymbolMeaning
Hamiltonian을 정하는 parameter vector (예: 자기장)
Parameter space에서의 gradient
Instantaneous eigenstate
Parameter space에서 닫힌 경로
Berry’s phase (geometric phase)
Berry connection (vector potential과 유사)
Berry curvature (magnetic field와 유사)
Phase convention을 바꾸는 임의의 함수 (gauge transformation)
Magnetic moment
경로가 원점에 대해 만드는 solid angle

0. 한눈에 보기

Berry's phase 요약

  1. Parameter 을 천천히 한 바퀴 돌리면, 계는 원래 eigenstate로 돌아오면서 dynamical phase 외에 **추가 phase **를 얻는다.
  2. 는 경로의 모양(기하)에만 의존하고, 얼마나 빨리 돌렸는지는 상관없다.
  3. 전자기학과 똑같은 구조다: = vector potential, = magnetic field, = 경로가 감싸는 “flux”.
  4. Spin-1/2 in : (solid angle의 절반).

1. 시간 적분 → parameter space 경로 적분

Hamiltonian이 parameter 를 통해서만 시간에 의존한다고 하자. 그러면 , 이고, chain rule로

이것을 (5.224)에 넣으면 가 로 바뀐다.

핵심: 시간 가 완전히 사라졌다. 은 parameter space에서 어떤 경로를 지나갔는지에만 의존하고, 그 경로를 얼마나 빨리 지나갔는지와는 무관하다. (dynamical phase 은 시간에 비례하는 것과 대조된다.)

한 주기 후 제자리로 돌아오면 (, 닫힌 경로 )

2. 전자기학과의 유사성

Berry connection과 Berry curvature

Stokes’ theorem을 쓰면 (선적분 → 면적분)

Berry’s phase = 경로 가 감싸는 면을 지나는 의 flux다. 같은 flux를 감싸기만 하면 경로가 달라도 같은 phase가 나온다. ((5.226)과 같은 이유로 , 은 실수다.)

전자기학Berry’s phase
Vector potential Berry connection
Magnetic field Berry curvature
Aharonov-Bohm phase = flux = flux of
Gauge transformation Phase convention 변경 (아래)
실제 공간Parameter space

Gauge invariance: 왜 “닫힌 경로”여야 하나

Eigenstate의 phase는 원래 임의로 잡을 수 있다. 마다 다른 phase를 곱해 보자.

(5.234)에 넣으면 이 에 걸려서

  • 열린 경로: 이 만큼 바뀐다 → convention에 따라 달라지는, 의미 없는 값. (Adiabatic 노트 6절의 self-consistency check가 바로 이 경우였다.)
  • 닫힌 경로: gradient의 closed-loop 적분은 0이므로 () 는 변하지 않는다 → 물리적이고 측정 가능한 값.

그래서 “geometric phase”라고 부른다. 경로의 기하만 남는다.

3. 을 계산하기 쉬운 형태로

(5.234)의 curl을 취하면, curl of gradient = 0이므로

Completeness 를 가운데 넣으면

항은 0이다: 에서 이므로, 같은 vector(의 배)끼리의 cross product가 된다.

을 로 바꾸기

Adiabatic 노트의 (5.220)과 똑같은 trick이다. (5.214)를 로 미분하고 과 내적하면

최종 결과

  • 장점: eigenstate의 미분이 없고, 의 matrix element만 있으면 된다. 그래서 phase convention과 무관하다는 것도 눈에 보인다.
  • Degeneracy point ()에서 분모가 0이 되어 이 발산한다. 이 점들이 의 source (monopole) 역할을 한다. 경로가 이 점을 지나지 않아도, 감싸는 면이 그 점의 flux를 받으면 phase에 기여한다.

4. 예제: Spin 1/2 in a slowly rotating magnetic field

자기장 자체를 parameter로 잡는다: = 자기장 vector. (라는 글자는 Berry curvature에 양보)

Step 1. Eigenvalue와 분모

방향을 양자화 축으로 잡으면 이고 eigenvalue는 이므로

는 방향에 대한 spin up/down이다. (5.243)의 합은 상대 state 하나뿐이고

Step 2.

가 에 대해 선형이므로

Step 3. Matrix element의 cross product

계산을 쉽게 하려고 잠시 을 방향으로 둔다 (rotational symmetry). 그러면 는 eigenstate이고

를 쓰면 , , 이므로

의 경우 cross product는

Step 4. 모두 조합

도 같은 방식으로 부호만 반대다.

는 사실 방향이었으므로

해석: parameter space의 원점 에 놓인 세기 인 magnetic monopole의 field와 똑같은 모양이다. 원점은 자기장이 0이 되어 가 되는 바로 그 degeneracy point다.

Step 5. Berry’s phase

는 solid angle element이므로, 적분은 경로가 원점에 대해 만드는 **solid angle **다.

  • 경로의 구체적 모양, 자기장의 세기 , 돌린 속도와 무관하다. Solid angle만 중요하다.
  • Magnetic moment 와도 무관하다. (단, 의 부호가 회전 방향을 정한다.)
  • 예: 자기장 방향을 적도를 따라 한 바퀴 돌리면 이므로 , 즉 . 상태 vector의 부호가 뒤집힌다.

5. 실험 확인 (Fig. 5.7)

  • 중성자 spin으로 측정: Bitter & Dubbers (1987), Richardson et al. (1988, ultra cold neutron, 주기 s로 adiabatic 조건 확보)
  • 자기장이 원(또는 타원)을 그리게 하고, 최종 polarization에서 전체 phase를 측정한 뒤 dynamical phase (5.217)를 빼면 Berry’s phase가 남는다.
  • 결과는 vs 가 기울기 인 직선으로 (5.253)과 잘 맞는다. 회전 방향으로부터 중성자 magnetic moment가 음수임도 확인되었다.

궁금한 내용

연관 학습 노트

다음 강의

References

  • Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.6.3, 5.6.4
  • M. V. Berry, Proc. R. Soc. London A 392, 45 (1984)

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