Sakurai 1장 문제 풀기

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Sakurai Modern Quantum Mechanics 1장 연습문제 풀이 모음.
접근법과 핵심 개념 위주로 정리.

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내가 중요하다고 생각한 문제들

1.6 — Bra-ket 대수 규칙 증명

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1.6a — tr(XY) = tr(YX)

핵심 개념

• 연산자의 Outer Product 표현: 연산자는 두 orthonormal basis의 조합으로 나타낼 수 있다. 예) — 여기서 와 는 서로 다른 ONB. 이 표현이 이 문제 풀이 전체의 출발점. 이렇게 정의된 operator는 을 먹어서 을 뱉는다.
• Trace의 정의: , 여기서 은 임의의 완비 정규직교기저(ONB)
• 항등연산자 삽입:
• Bracket은 c-number: 이므로 곱셈 순서 교환 가능

접근법

두 연산자를 outer product 형태로 표현한다:

각각의 trace를 전개:

항등연산자 를 와 사이에 삽입하면:

마찬가지로:

각 bracket은 복소수(c-number)이므로 곱셈 순서를 자유롭게 바꿀 수 있다. 따라서 두 식의 summand가 동일하고:

풀이 검토

논리 구조는 완벽. “bracket은 c-number이므로 순서 교환 가능” 이라는 문장을 명시적으로 쓰는 것이 포인트.

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1.6b —

핵심 개념

• Dagger 연산의 효과: 에 dagger를 취하면 — bra ↔ ket 뒤집힘
• Bracket의 켤레:

접근법

와 를 각각 구한다:

를 직접 계산:

를 직접 계산해서 동일함을 확인:

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1.6c — 를 ket-bra form으로

핵심 개념

• Spectral decomposition: Hermitian operator 는 로 분해됨
• Projector의 멱승: (∵ )
• 서로 다른 eigenstate 간의 곱: 이므로 교차항은 모두 0

접근법

Taylor 전개:

Spectral decomposition을 대입하면 이므로:

Tip

Hermitian operator의 함수는 eigenvalue에 그 함수를 적용하고 projector를 붙이면 된다. 이 결과는 양자역학 전반에서 매우 자주 쓰인다 (예: Time evolution operator ).

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1.6d —

핵심 개념

• 파동함수의 bra-ket 표현:
• 항등연산자 삽입:
• Position eigenstate의 정규직교성:

접근법

이므로 . 대입하면:

중간의 합이 항등연산자이므로:

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1.13 — Two-state system의 Energy Eigenket

A two-state system is characterized by the Hamiltonian

where . 는 가 아닌 어떤 observable의 eigenket.
Energy eigenket과 eigenvalue를 구하고, 극한이 올바른지 확인하라.

핵심 개념

• Matrix representation: 를 basis로 를 행렬로 나타내면 symmetric matrix
• Hermitian matrix의 eigenvalue: 항상 실수, eigenvector는 서로 직교

접근법

basis에서 의 행렬 표현:

Characteristic equation 을 풀면:

결과

Energy eigenvalue:

Energy eigenket ( basis로 표현):

Sanity check: 극한

eigenket도 각각 , 로 환원 → 이면 가 처음부터 의 eigenket이 되는 것과 일치. ✅

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1.22 — Uncertainty product를 최대화하는 spin state

와 의 linear combination 중 를 최대화하는 상태를 찾고, 불확정성 관계가 위반되지 않음을 확인하라.

핵심 개념

• Bloch sphere 표현: 가장 일반적인 spin-1/2 상태는
• Pauli matrix의 제곱: → 는 모든 상태에서 고정
• 분산의 정의:

접근법

의 행렬 표현:

가 고정이므로, uncertainty product는:

Bloch sphere 표현으로 기댓값을 계산하면:

곱을 최대화하려면 이어야 하므로, , 즉 또는 .

결과

이 상태에서 uncertainty product:

Sanity check: 불확정성 관계 검증

이므로 불확정성 관계:

상태에서 이므로 우변 .

좌변 우변 → 등호 성립 (minimum uncertainty state) ✅

Tip

는 eigenstate이기 때문에 의 기댓값이 0이 되어 분산이 최대화된다. 직관적으로, 축 방향으로 spin이 완전히 확정되면 방향의 불확정성이 최대가 되는 것.

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1.31 — Commutator와 Poisson bracket

a. , 를 fundamental commutation relation으로부터 유도하라.
b. 를 계산하고 고전 Poisson bracket 과 비교하라.

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1.31a — 재귀적 QM 증명

핵심 개념

• Commutator의 Leibniz rule:
• 이 규칙이 commutator를 미분 연산자처럼 작동하게 만든다
• Fundamental canonical commutation relation:

접근법

Step 1: 재귀 보조 정리를 수학적 귀납법으로 증명

귀납 단계 (Leibniz rule 적용):

Step 2: 를 power series로 전개

Power series의 항별 미분이 그대로 가 된다. 의 경우도 동일 구조.

Tip

Commutator가 Leibniz rule을 만족하기 때문에, 미분과 동일한 재귀 구조를 갖는다. 이것이 QM의 commutator와 고전역학의 Poisson bracket이 구조적으로 대응되는 근본 이유.

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1.31b — 계산

QM 계산

1.31a의 결과 를 Leibniz rule과 함께 적용:

고전 Poisson bracket 비교

고전 극한 에서 이므로:

대응 관계 성립. ✅

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1.33 — Infinitesimal translation 하에서의 , 변환

일 때, , 임을 증명하라.

핵심 개념

• Translation operator:
• 는 자기 자신과 commute:

접근법

변환된 기댓값:

변환: Sakurai (1.227)에서 이므로:

변환: 이므로:

공간을 infinitesimal하게 밀어도 운동량 기댓값은 변하지 않는다 — 직관적으로도 자연스러운 결과.

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1.34 — Momentum boost operator

를 정의하고, 형태임을 보여라. 를 차원 분석으로 결정하고, canonical commutation relation을 유도하라. Matrix element 를 의 에 대한 미분으로 표현하라.

핵심 개념

• Generator의 대칭성: 위치 translation의 generator가 이듯, momentum translation의 generator는
• 위치 공간과 운동량 공간은 Fourier 쌍 → generator 역할이 대칭적으로 뒤바뀜
• 힘이 아니라 위치 연산자 가 momentum boost의 generator임에 주의

Step 1: 의 세 가지 성질 확인

(: Hermitian)일 때:

성질	조건	결과
Unitary		Hermitian이면 1차까지 성립
Inverse		이 역원
Associative		1차까지 성립

Step 2: 결정 — Generator는 -representation의 미분 연산자

를 유도할 때와 완전히 동일한 논리를 -representation에 적용한다.

위치 공간에서의 논리를 먼저 상기하면:

즉 이고, -representation에서 이므로 가 generator.

운동량 공간에서도 동일하게: boost operator가 -representation의 파동함수 에 작용하면

즉 . 그런데 -representation에서 미분 연산자의 정체는:

(-representation에서 이면, Fourier 쌍인 -representation에서는 )

따라서:

차원 분석이나 추가 가정 없이, -representation에서 미분 연산자라는 조건만으로 유일하게 결정된다.

Step 3: Canonical commutation relation 유도

를 양변에 작용:

를 대입하면 양변이 일치 → 가 자연스럽게 도출됨. ✅

Step 4: Matrix element 유도

에 를 취하면:

우변을 Taylor 전개하고 의 계수를 비교:

Position-Momentum 대칭

Position space에서 인 것의 운동량 공간 버전. 부호와 역할이 대칭적으로 뒤바뀐 완벽한 쌍.

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Week 2 HW

1.2 — Commutator 항등식 증명

증명.

접근법

를 직접 전개한다:

중간에 을 더하고 빼서 재조합:

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1.7 — Outer product 의 Matrix Representation

(a) 두 개의 ket , 가 있을 때, complete base kets 를 사용해서 , , …, , , …가 열거될 수 있다. 이 basis에서 의 matrix representation을 찾아라.

접근법

와 를 basis로 나타내면 각각 column vector:

따라서 는 row vector (켤레):

Outer product 는 (column) × (row):

Tip

성분 = . 즉, 번째 행은 의 배수, 번째 열은 의 배수.

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1.7 (b) — Spin-1/2에서 Matrix

, 일 때 의 matrix를 구하라.

, 이므로:

사실 문제를 잘못 읽었었다.

, 일 때 의 matrix를 구하라.

, 이므로:

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1.10 — Spin-1/2 연산자 곱 결과

와 를 증명하라. , 를 basis로 , , 와 , , 등을 계산하라.

핵심 개념

이므로:

계산 결과

스핀 연산자의 행렬 표현:

직접 계산으로 확인한 곱:

Commutator 결과:

Anti-symmetry 확인: 이므로:

관찰

같은 끼리 곱하면 orthogonal matrix이므로, 항등행렬의 스칼라 배수가 나온다:

또한 위의 결과를 통해 일반식을 유도할 수 있다:

이로부터:

가 자동으로 따른다. ✅

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1.10 — , 의 orthonormality를 이용한 계산

와 가 eigenket이고, , 가 주어진다. 이를 이용해 다음을 증명하라.

와 의 orthonormality를 이용해서 모든 연산자 곱을 직접 계산했다. 대표적 계산:

는 commutator의 반대칭성 를 이용하면 나머지도 같은 방식으로 구할 수 있다.

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Week 3 HW

1.15 — Stern-Gerlach 순차 실험에서 의 세기

빔이 장치 (a) → (b) → (c) 순서로 통과할 때, 마지막에 의 세기를 구하라.
장치 (a)에서 나온 빛은 normalized 되어 있다.

• 장치 (a): 통과, 차단
• 장치 (b): 통과, 차단, 은 xz-plane에서 z-axis에 대해 각도가 인 방향.
• 장치 (c): 차단, 통과

풀이

세기 =

방향의 spin operator:

이 행렬의 eigenket 을 구하면:

normalization 조건 을 함께 풀면:

세기 계산:
죄변에서 첫번째 항은 두 번째 검출기를 통과할 확률, 두번째 항은 마지막 검출기를 통과할 확률률

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1.21 — Uncertainty Product 계산

eigenstate 에서 를 구하고, 불확정성 관계 가 만족됨을 확인하라. (, )

풀이

eigenstate 에서:

기댓값:

도 완전히 같은 방식으로:

Uncertainty relation 확인

이므로:

불확정성 관계의 양변:

등호가 성립 (minimum uncertainty state). 는 eigenstate이기 때문에 , 에 대해 최소 불확정성 상태가 된다. ✅

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Week 4 HW

1.35 — Gaussian Wave Packet에서 , 계산

Gaussian wave packet 에서 과 를 구하라.

Gaussian 적분 공식

(두 번째는 를 이용해 도출)

계산

이므로:

는 odd function이므로 적분이 0이 됨.

계산

홀함수 항(를 포함하는 항)은 0, 나머지 정리하면:

Fourier 변환으로도 확인

를 구하면:

이는 평균 , 분산 인 Gaussian distribution. 따라서:

Tip

Gaussian wave packet은 x-space에서도 p-space에서도 Gaussian으로 나타난다. 이는 Gaussian이 Fourier transform의 고유함수이기 때문. 진동하는 phase 는 p-space에서의 평균값을 로 shift시킨다.

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1.36 — Position operator in p-space

(a) 증명

라 정의하면, 파동함수로 나타낼 때:

구하고자 하는 것은 . 이므로:

여기서 를 이용:

(b) 증명

이고, 이므로:

(b) 의 중요성

이 연산자는 x-space와 p-space의 변환 인자로, 와 사이의 내적 관계를 나타낸다.

이는 운동량 를 가지는 eigenket을 x-space에서 보면 의 wave number를 가지는 평면파라는 뜻이다.