Sakurai 2장 문제 풀기

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Sakurai Modern Quantum Mechanics 2장 연습문제 풀이 모음.
접근법과 핵심 개념 위주로 정리.

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Week 5 HW

2.3 — Larmor Precession

전자가 에서 방향의 spin-up 상태 에 있다. Hamiltonian은 . 다음을 구하라.

Notation 정리:

• eigenket: ,
• eigenket: ,
• eigenket: ,

초기 상태 구하기

eigenvalue equation에서:

의 energy eigenstate

, 가 의 eigenstate:

시간 발전

(a) 시간 후에 로 발견될 확률을 구하라

이므로:

(b) 의 기댓값을 시간에 대한 함수로 구하라

(c) 의 극한과 의 극한에서 결과를 정당화하라라

(i) : →

이므로 로 관찰될 확률은 항상 . → ✅

(ii) : →

→ 의 와 같다 ✅

x-y 평면에 묶여 있어서, 시간이 지남에 따라 와 사이를 진동한다.

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2.12 — SHO Superposition State의 ,

, .

(a) 를 구하고, 과 를 찾아라.
(b) Heisenberg 관점에서 계산하여 같은 결과를 얻어라.

기본 표기

, 에너지 고유상태:

(a) Schrödinger 관점

시간 발전:

파동함수:

여기서 ,

계산:

(홀/짝 함수의 적분이 0)

계산:

(b) Heisenberg 관점

, 이므로:

, , 를 이용하면:

두 관점에서 완전히 동일한 결과. ✅

Tip

과 이 주기로 진동하는 것은 Ehrenfest 정리를 만족한다. 이 상태는 QM적인 특성을 가지면서도 고전 SHO와 같이 진동하는 상태이다.

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Week 6 HW

2.41 — Propagators and Action

시작점 , 도착점 인 두 경로를 고려.

• 경로 1 (가속 경로):
• 경로 2 (등속 경로):

포텐셜:

(a) 와 결정, 를 로 나타내기

경로 1에서 이므로:

이므로:

경로 2에서 이므로:

(b) 각 경로에서 Classical action 계산

경로 1 ():

를 대입:

경로 2 ():

비교:

올바른 경로 (경로 1)의 action이 더 작다 — 최소 작용의 원리와 일치. ✅

(c) , 일 때 계산

,

전자 ():

탄소 나노입자 ():

해석: 고전 극한

전자 (): 비고전적 경로와의 phase 차이가 작다. 양자적 효과가 두드러지며, 비고전적 경로도 중첩에 기여하여 간섭 효과가 관찰될 수 있다.

탄소 나노입자 (): 고전적 경로에서 조금이라도 벗어나면 위상이 너무 빠르게 진동하여 상쇄되고, 오직 고전적 경로만 생존한다. 질량이 큰 물체가 고전 역학을 따르는 이유이다.

Path Integral의 물리적 의미

Feynman 경로적분에서 고전 경로 근방에서만 위상이 정렬(stationary phase)되어 보강간섭이 일어난다. 이것이 대응원리가 구현되는 메커니즘이다.

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내가 중요하다 생각하는 문제

2.1 — Spin Precession: Heisenberg 그림으로 풀기

로 주어진 spin precession 문제를 Heisenberg 그림에서 풀어라. , , 를 구하라.

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Step 1 — Heisenberg 운동방정식 세우기

Heisenberg 운동방정식:

는 시간 무관 해밀토니안이므로, 앞선 논의에서 확인했듯 commutator 안은 슈뢰딩거 연산자로 계산해도 된다:

spin commutation relation 를 이용하면:

각각 대입:

연립 미분방정식을 얻었다:

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Step 2 — 잘못된 접근: 로 ansatz 넣기

, 를 보면 고전역학의 커플링된 진동 방정식과 모양이 같다. 그래서 자연스럽게 다음 ansatz를 시도하고 싶어진다:

첫 번째 방정식에 대입:

두 번째 방정식에 대입해서 확인해보면:

이므로 두 번째 방정식은 수치적으로는 성립한다.

정말 놀랍게도!!!!!
그러나 이 ansatz는 틀렸다. , 는 Hermitian 연산자여야 하는데, 라는 복소 인수를 곱하면 Hermiticity가 깨진다!!!!!!!

물리적으로 관측 가능한 양은 Hermitian 연산자여야 하므로, 이 해는 받아들일 수 없다.

핵심 차이

고전역학에서 를 쓸 때는 가 실수이고 복소 지수는 단순히 계산 편의를 위한 트릭이다. 그러나 양자역학에서 는 연산자이고, 연산자에 를 곱하면 Hermiticity 자체가 바뀐다. 연산자에 복소 ansatz를 쓸 때는 훨씬 신중해야 한다.

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Step 3 — 올바른 접근: 를 이용한 diagonalization

SHO에서 와 의 커플링을 , 로 diagonalize했던 것처럼, 와 의 커플링을 raising/lowering operator로 풀자:

를 선형결합해서 의 운동방정식을 구한다:

이제 각각 독립적인 1차 ODE가 됐다:

이는 즉시 적분 가능:

이 해는 문제 없다. 가 c-number(복소 스칼라)로 연산자에 곱해지는 것이고, 와 는 서로 Hermitian 켤레 이므로 일관성이 있다.

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Step 4 — , , 복원

정의를 역산하면:

대입:

, 을 다시 대입:

같은 방식으로:

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결과 해석

는 보존되고, 와 는 축 주위로 각속도 로 세차운동한다. 행렬 형태로 쓰면:

이것은 축에 대한 회전 행렬 와 정확히 같은 구조다. 즉, 하이젠베르크 그림에서 연산자가 고전적 세차운동과 동일한 방식으로 시간 발전함을 확인할 수 있다.

SHO와의 유사성

SHO	Spin Precession
, 커플링 → , 로 diagonalize	, 커플링 → , 로 diagonalize
, 를 , 로 복원	, 를 로 복원

두 문제 모두 커플링된 연산자를 diagonalize하는 새 basis를 찾는 것이 핵심이다.

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보충: , 의 행렬 표현과 Eigenket의 시간 진화

행렬 표현 확인

우리가 구한 결과 에 행렬을 직접 대입:

에서 , 의 표준 행렬로 환원됨을 확인할 수 있다. ✅

Eigenket의 시간 진화

를 풀면 ( basis로 표현):

의 eigenket:

의 eigenket:

에서 표준 eigenket으로 환원됨을 확인:

구조의 아름다움

가 위쪽 성분( 성분)에만 붙는 구조가 보인다. 이는 Schrödinger 그림의 시간 발전

과 완전히 일관된다. Heisenberg 그림에서 eigenket이 로 변환되므로, 성분은 , 성분은 — 정확히 위 행렬 표현의 패턴이다.

Tip

시점에 업스핀으로 측정될 확률은 Heisenberg 그림에서

이며, 이는 Schrödinger 그림의 와 동등하다.