QM lecture note - Time Reversal for Spin-½ System

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Rotation and Angular Momentum에서 Chapter 3의 Rotation과 Angular Momentum commutation relation을 복습했다.

오늘의 핵심

• Spin-½ system에서 time reversal operator:
• 를 축 기준 회전으로 표현하고, 를 적용하여 임을 유도
• 구조에서
• ,
• Spin-½에서 : 시간 역전을 4번 해야 원래로 돌아오는 시스템
• Half-integer spin: , integer spin:
• 일반적인 에 대한 증명:

필기 내용

1. Spin-½ System의 Time Reversal

다시 Chapter 4로 돌아가자. Spin-½ system에서의 time reversal을 다룬다.

Spin-angular operator 에 대해:

이 축과 그림과 같은 각도를 가진다.

은 축 얹던 벡터를 축 회전축으로 하여 만큼 돌리고, 축 회전축으로 하여 만큼 돌린 결과이다.

따라서, 을 이렇게 표현할 수 있다:

2. 의 계산

이걸 시간 역전시켜보자. 이때, 각운동량과 마찬가지로 spin도 TR-odd임을 이용한다:

는 antilinear이므로 :

핵심 관찰

과 은 모두 같은 operator로 변환되는 관계다.

이제 의 eigenket으로서 의 성질을 나타낸 식에 를 취해보자.

이므로:

은 operator 에 대해 eigenvalue가 인 eigenket이므로,
인 스칼라 에 대해:

3. 의 결정

에다가 위 성질을 적용:

이게 무슨 논리지...

라고 분석해야 하나나?

(필기 원문의 의문점)

원래 라고 정의했었고, 를 basis로 사용해 을 이용한다.

이때, 을 이용 (증명은 다음 수업에서):

여기서

4. 의 Basis Ket에 대한 작용

Time reversal에 의한 flip을 꼭 로 정의할 필요가 있는가? 로도 가능하지 않은가?

5. 임의 방향의 Spinner에 적용

6. (Spin-½)

(여기서 을 사용)

핵심

시간 역전을 4번 해야 원래로 돌아오는 시스템!

7. 일반적인 에 대한

더 일반적으로:

증명

로 놓고, 에 대해:

마지막 식이 어떻게 유도되나, 증명의 흐름을 알아보면:

1. for and
2. Schur’s lemma: 모든 generator와 commute하는 operator는 이다.

3. 적절한 를 찾아라. →

궁금한 내용

• 를 정의할 수가 있나?? 없다면 왜 안 되는가? (이전 수업에서 이어진 질문)
• Time reversal에 의한 flip을 꼭 로 정의할 필요가 있는가? 로도 가능하지 않은가?
• 라고 분석해야 한다? (필기의 논리 흐름 의문점)
• 마지막 증명에서 이 되는 구체적인 과정

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 4.4
• 강의 필기 (Week 11 - 1, p.4~6)

다음 강의

QM lecture note - Kramers’ Degeneracy

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