스라소니 머릿속에는

SM lecture note - Kinetic Theory and Boltzmann's H-theorem

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강의 필기

이것은 Statistical Mechanics강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

SM lecture note - Thermodynamic Equilibrium and the First Law

오늘의 핵심

정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
AI한테 시켜도 되는데 추천은 안 함.

필기 내용

Part 2. Stochastic Mechanics

Kinetic theory: microscopic equation of motion으로 macroscopic property를 설명하는 것.

Thermodynamic coordinates:

Microstate and phase space

Microstate of -particle system: , → index for particle

Phase space is dimension.

Phase space density

: 기호는 모든 입자의 물리량을 모은 tuple임을 의미

  • Normalization
  • Ensemble average (: physical observable)

Time evolution of density of state: Liouville theorem

이건 그저 해밀턴 방정식일 뿐.

연속체 방정식 → 물리적 의미: 한 자리()에서 시간에 대해 밀도 변화가 있다면(), 그것은 밀도 흐름()이 그 자리에서 모이거나 흩어지기 때문이다(). 흐름이 발산하면 는 줄어든다.

에서 연산자 정의:

벡터 항등식 이용:

해밀턴 방정식을 떠올리면, 연속체 방정식은 을 의미한다는 걸 알 수 있다.

은 의 총량은 시간이 지나도 변하지 않음을 의미한다.

즉, 상태가 의 한 점으로 존재할 때, 시간이 지나 점이 내 다른 좌표로 이동하기는 하지만 그 점들의 개수가 사라지진 않는다는 것. “연속체 방정식”에서 ‘연속’은 속 점(state)의 존재가 연속된다는 의미.

AI 메모

위 두 문장은 아래 “AI의 보충 설명 - 1”에서 조금 다듬어 두었다.

은 density distribution이 변치 않는 것. Steady state를 의미.

Ensemble theory로 정의되는 steady는 두 가지가 있다.

  • Microcanonical ensemble: uniform density distribution
  • Canonical ensemble: Boltzmann distribution

Reduced density: kind of coarse graining

1-particle density: 입자 하나에 대한 정보 이외는 적분해서 없애 버림. 그리고 모든 입자는 구분 불가하다고 취급함.

2-particle density: 한 쌍의 입자에 대한 정보 이외는 적분해서 없앤다.

  • : 순서를 구분하지 않는, 가능한 모든 입자 쌍의 집합. 원소 개수는

-particle density

Normalization 관례

강의 관례 확인 필요. “AI의 보충 설명 - 2” 참고.

Hydrodynamic fields

Density field: 에서 운동량 정보를 적분해 없앤다.

를 에 대해 적분하면 그냥 입자 수다.

Momentum density: → momentum으로 mapping하는 vector field

Energy density: 이걸로 temperature field를 정의한다.

Boltzmann’s H-theorem and Irreversibility

미시적으로는 분명 time reversal symmetry가 있는 충돌 과정이, 어떻게 거시적인 irreversibility를 만드는가?

Definition of H-function: 엔트로피와 직결

가 단조감소(non-increasing)함을 증명할 것이다.

Collision이 없는 경우: 완전 결정론적, Liouville theory

시간에 에 있던 점이 시간 뒤에는 로 이동한다.

이것이 리우빌 정리와 같음을 보일 수 있다. 우변을 테일러 전개.

Collision이 있는 경우

위와 같이 움직이지 않고, 충돌에 의해 확률적으로 다른 위상이 된다. 리우빌 정리에 보정항이 붙는다.

즉, 의 정체를 정리하면,

원래 가야 할 위상 공간 속 궤적에서 벗어나는 것을 outflux, 다른 위상이 궤적으로 끼어든 것을 influx라고 부르자.

  • : influx
  • : outflux
  • : net flux

충돌 이전의 입자가 였다고 가정하자. 충돌이 없었더라면, 이것은 가 되었어야 했다. 그러나 충돌로 인해 예정되지 않은 위상 이 되는 것이 outflux이다.

반대로, 아주 다른 위상이었던 게 충돌로 예기치 않게 와 같은 위상이 되는 것이 influx이다.

일단은 위치보단 운동량 변환에 신경쓰자. 두 입자가 만나서 충돌하는 지점을 로 잡고, 충돌 직전과 직후를 보아서 가 거의 변하지 않고 운동량만 변한다면, 충돌로 인해 ‘예기치 않은’ 운동량 전환의 빈도를 라고 쓰자.

Influx:
{충돌로 인해 이 생기는 흐름} {충돌이 일어날 때 전환율 (즉, 이것은 충돌 전 입자 1: , 입자 2: 이라는 “조건부” 확률)} · {어떤 두 입자가 같은 위치에서 일 확률}

비슷한 원리로, outflux는 {충돌로 인해 이 없어지는 흐름} {충돌이 일어날 때 전환율} · {어떤 두 입자가 같은 위치에서 일 확률}

에 대한 식에 가 아니라 가 있다면 식을 깔끔하게 쓸 수 있을 텐데!

이때 detailed balance를 이용.

Time reversal symmetry와 parity symmetry로 증명 가능.

그림 (필기 원본 9쪽)

충돌 전(점선) → 충돌 후(실선)인 충돌 과정에 time reversal을 가하면 모든 운동량의 부호가 바뀌고 전후가 뒤집힌다. 여기에 parity를 가하면 운동량 부호가 다시 원래대로 돌아오면서, 결과적으로 인 역과정이 된다.

Continuity equation for

Force term: 가 에 독립이라면,

(chain rule: )

Streaming term: 같은 방법으로

Collision term: 충돌해도 입자 수는 보존된다.

따라서

정의:

이것은 에 대한 continuity equation이다.

Dilute gas approximation (molecular chaos)

  • Two-body collision만 일어나고, 3개 이상의 입자가 동시에 한 자리에 모일 확률은 지극히 낮다고 가정.
  • 충돌 이전: 과 의 correlation이 없다고 가정. 둘이 독립임. 그래서 를 의 곱으로 나타낼 수 있다.

정의할 때는 가 충돌 전이었다:

정의할 때는 가 충돌 전이었다:

H-theorem의 증명

뭐가 첫 번째 입자이고 두 번째 입자이든 상관없음. 1과 2 index 바꿈:

두 식을 평균:

프라임이 붙었는지 아닌지로 dummy index 변환 (detailed balance 사용):

두 식을 평균:

Inequality

For ,

이 케이스에서는 , , 그리고 .

따라서! at every and .

이니, 는 모든 시간에 감소 (current term은 공간 적분하면 경계항으로 사라짐).

는 collision에 의해서는 결코 증가하지 않는다. 그리고 재는 것에 대해 단조증가함수 아님.

For , never increases in time.

Entropy

Entropy density:

Total entropy → density를 공간에 대해 적분한 것.

We can explain the irreversibility now.

  • Shannon entropy (information entropy)
  • Gibbs entropy

엔트로피가 충돌로 인해 계속, 시간이 지나니까 늘어난다… 충돌이 일어나기 전의 정보를 잃어버림 (molecular chaos) 가 비가역성을 만든다.

EQ properties at

가 상수가 됨. → 부분이 0이 된다?

(좌변: 충돌 전, 우변: 충돌 후) — 어디서부터 time reversal symmetry가 사라지지?

At : no time, position dependence.

  • : momentum conservation in collision
  • : energy conservation in collision

랑 가 주어지고, 일반 상수가… → HW

Maxwell-Boltzmann distribution

Eq distribution이 Maxwell-Boltzmann distribution임을 유도하기.

  • : density of particle
  • 는 입자 하나가 를 가질 확률 → 아님.
  • 를 가지는 입자의 평균적인 개수 → 맞음.

궁금한 내용

Q1. 를 왜 따로 정의했을까? 만으로도 충분하지 않나?

의 단조성만 보이려면 바로 를 계산해도 된다. 그러나 를 거치면 entropy 변화가 transport (, 공간 적분하면 사라지는 reversible 흐름)와 production (, collision에서만 생김)으로 분리된다. 그래서 “irreversibility가 어디서 오는가?”에 정확히 답할 수 있고, 모든 점에서 성립하는 local second law라는 더 강한 명제를 얻는다. 또한 인 상태(local Maxwellian)와 전역 평형을 구분할 수 있어 hydrodynamics로 이어진다.

Q2. 어디서부터 time reversal symmetry가 사라지지?

Molecular chaos (Stosszahlansatz): 을 “충돌 직전” 쌍에만 적용한 순간이다. 충돌 직후의 두 입자는 방금 상호작용해서 correlation이 있는데, 이를 버리고 “충돌 전은 항상 uncorrelated”라고 시간 방향을 정해 놓았다. Liouville 방정식, Hamiltonian, 의 detailed balance는 모두 time-reversal symmetric이므로, 비대칭이 들어올 수 있는 곳은 이 가정뿐이다.

Q3. Force term을 0으로 만드는 계산은 정확히 어떻게?

Chain rule로 . 가 에 무관하면 적분 밖으로 나오고, 남은 적분은 의 경계항이 된다. 이고 이므로 0. 가 에 의존해도 (예: Lorentz force)이면 부분적분으로 여전히 0.

AI의 보충 설명

필기 원본과 비교해 수정하거나 짚어둘 부분.

1. 과 “총량 보존”은 다른 이야기

  • 총량 보존 은 continuity equation 만 있으면 (와 무관하게) 경계항으로 성립한다. 정확히는 이다.
  • 은 그보다 강한 명제로, 흐름을 따라가며 본 밀도가 일정하다는 것 (phase-space flow가 incompressible, ).
  • 또 “점이 다른 좌표로 이동하기는 하지만” 부분에는 이 어울린다. 고정된 자리의 밀도는 변할 수 있지만, 흐름을 따라가면 변하지 않는다().

2. Reduced density의 normalization 관례

  • 필기는 에 순서 없는 쌍의 수 , 에 을 붙였다. Kardar는 순서 있는 관례 를 쓴다.
  • 이 차이는 molecular chaos에서 드러난다. Kardar 관례에서는 이라 이 자연스럽지만, 필기 관례로는 이 되어 collision term에 1/2이 붙는다. 강의 판서가 어느 쪽이었는지 확인 필요.

3. 원본에서 수정한 부분

  • 1쪽 “가 단조증가함을 증명” → 증명 결과는 이므로 단조감소로 적음. 증가하는 것은 entropy .
  • 10쪽 ” at every ” → 부호가 정해지는 것은 자체가 아니라 . 자체는 current term 때문에 국소적으로 증가할 수도 있다.
  • 8쪽 force term 계산에서 을 적분 밖으로 꺼낸 표기는 엄밀하지 않아서, chain rule 로 바로 쓰도록 정리함.

4. 두 번의 index 교환이 쓰는 대칭

  • 첫 교환 (): 동종 입자이므로 .
  • 둘째 교환 (프라임 ↔ 언프라임): detailed balance 가 필요하다. 이 대칭이 없으면 1/4 꼴로 묶을 수 없다.

5. Temperature field 정의

  • 필기의 는 유속 일 때만 맞다. 흐름이 있으면 bulk motion의 운동에너지가 섞이므로, 보통 상대 운동량으로 정의한다.

6. Equilibrium 조건의 의미

  • 이 충돌 전후로 더해서 보존되는 양(collision invariant)이어야 하므로, 충돌에서 보존되는 양인 , , 의 선형결합이 된다. 그래서 .

연관 학습 노트

References

강의 ppt 링크를 이곳에

다음 강의

SM lecture note - Ensemble Theory and Energy Hypersurface

필기 원본

그래프 뷰

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