스라소니 머릿속에는

양자 필기 - Hyperfine Splitting in Hydrogen

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비공식 자료, 책임 안 짐

이것은 양자물리 (학부용, Griffiths) 강의를 듣고 TA가 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
교수님께서 검토하신 자료가 아니므로, 전문성을 보장하지 않습니다.

지난 강의

오늘의 핵심

정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
AI한테 시켜도 되는데 추천은 안 함.

기호 정리

SymbolMeaning
전자, 양성자의 spin
전자, 양성자의 magnetic dipole moment
전자, 양성자의 질량
양성자의 g-factor (측정값 5.59)
전자 위치 방향의 unit vector
Total spin
Hyperfine perturbation과 first-order energy
Triplet–singlet 에너지 간격, 방출 photon의 frequency

필기 내용

1. 양성자도 magnetic dipole이다

양성자 자체도 magnetic dipole을 이루지만, 분모의 질량 때문에 전자의 dipole moment보다 훨씬 작다.

양성자는 세 개의 quark로 이루어진 composite 구조라서 gyromagnetic ratio가 전자처럼 단순하지 않다. 그래서 explicit한 g-factor 를 쓰며, 측정값은 전자의 2.00과 달리 5.59다.

2. Dipole이 만드는 magnetic field

고전 전자기학에 의해 dipole 는 다음 field를 만든다.

Delta function 항 (footnote 29)

이 항이 낯설다면, dipole을 spinning charged spherical shell로 보고 를 고정한 채 반지름 , 전하 극한을 취하면 유도할 수 있다.

3. Hyperfine Hamiltonian

양성자의 magnetic dipole moment가 만드는 field 안에서 전자의 Hamiltonian은 (7.59의 에 의해)

First-order correction은 기댓값이다.

4. Ground state

Ground state (혹은 인 모든 state)에서는 wave function이 spherically symmetric이라 첫 번째 기댓값이 사라진다 (Problem 7.31). 한편 (4.80)에서 이므로

두 spin의 dot product를 포함하므로 이를 spin-spin coupling이라 부른다 (spin-orbit coupling은 을 포함했다).

5. Good states: total spin

Spin-spin coupling이 있으면 각 spin angular momentum은 따로 보존되지 않는다. Good states는 total spin의 eigenvector다.

전과 똑같이 제곱해서 정리하면

전자와 양성자 모두 spin 1/2이므로 이다.

  • Triplet (spin “parallel”): total spin 1,
  • Singlet: total spin 0,

따라서

6. 21-centimeter line (Figure 7.12)

Spin-spin coupling은 ground state의 spin degeneracy를 깨서 triplet은 올리고 singlet은 내린다. 에너지 간격은

Triplet에서 singlet으로 전이할 때 방출되는 photon의 frequency는

이고, 대응하는 파장은 로 microwave 영역이다. 이 유명한 21-centimeter line은 우주에서 가장 널리 퍼져 있는 복사 중 하나다.

7. 관련 연습문제

  • Problem 7.31: 상수 벡터 , 에 대한 angular integral 공식을 보이고, 이를 이용해 state에서 (4)의 첫 번째 기댓값이 0임을 증명.
  • Problem 7.32: 수소 공식을 적절히 수정해 (a) muonic hydrogen, (b) positronium, (c) muonium의 ground state hyperfine splitting 구하기. “Bohr radius”에는 reduced mass를, gyromagnetic ratio에는 실제 질량을 쓸 것. Positronium은 pair annihilation 때문에 실험값과 크게 다르다.
  • Further Problems 중 관련: 7.47 (deuterium의 hyperfine transition 파장, deuteron은 spin 1, ).

궁금한 내용

AI의 보충 설명

1. Spin-orbit와 spin-spin은 같은 트릭으로 풀린다

Spin-orbit (7.3.2)Spin-spin (7.5)
결합하는 두 angular momentum
보존되는 합
Dot product 트릭
Good quantum numbertotal spin 1 (triplet) / 0 (singlet)

두 경우 모두 “개별 angular momentum은 보존되지 않지만 합은 보존된다 → 합의 eigenstate가 good state → dot product를 제곱의 차로 바꾼다”는 같은 구조다. (원자 물리에서는 보통 nuclear spin을 , 전체를 로 쓰고, 수소 ground state의 두 준위를 , 이라 부른다.)

2. Delta function 항 (Fermi contact interaction)이 전부다

Ground state에서 살아남는 것은 (3)의 delta function 항뿐인데, 이것을 Fermi contact interaction이라 부른다. 전자가 양성자 위치에 있을 확률 밀도 에 비례하므로, 인 state에서만 기여한다. state에서는 이라 contact 항은 사라지고 대신 (3)의 첫 번째 (dipole–dipole) 항이 기여한다.

3. 크기 감각: 왜 Table 7.1에 가 붙나

(1)에서 양성자의 magnetic moment는 분모에 가 있어서 전자보다 배 정도 작다. 그래서 hyperfine은 fine structure ()에 가 곱해진 크기가 되고, (9)의 eV는 fine structure보다 두세 자릿수 작다.

4. 21 cm line이 천문학에서 중요한 이유

Triplet → singlet 전이는 magnetic dipole transition이라 매우 느려서, 원자 하나의 수명이 약 년에 이른다. 그런데도 은하에 중성 수소가 워낙 많아서 신호가 강하게 관측된다. 파장이 길어 성간 먼지를 잘 통과하고, Doppler shift로 수소 구름의 속도를 잴 수 있어서 은하의 나선 구조와 rotation curve (dark matter의 증거 중 하나)를 그리는 데 쓰였다.

연관 학습 노트

References

  • Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.), Section 7.5 (Figure 7.12), footnotes 29–30, Problems 7.31–7.32, 7.47

다음 강의

  • Griffiths Chapter 7 Further Problems / Chapter 8 The Variational Principle

필기 원본

손필기 없음. Griffiths 교재 본문을 바탕으로 정리함.

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