강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Time Reversal for Spin-½ System에서 Spin-½ system에서의 time reversal operator 를 유도하고, 임을 증명했다.

오늘의 핵심

Kramers’ Degeneracy Theorem: Half-integer system에서, Hamiltonian이 time reversal even이면 모든 에너지 고유상태는 doubly degenerate하다.
증명의 핵심: $𝟙$ 이면 과 이 반드시 orthogonal
E-field를 켜도 Hamiltonian은 여전히 time reversal even → Kramers’ degeneracy 유지
B-field를 켜면 Hamiltonian의 시간 대칭이 깨짐 → Kramers’ degeneracy가 깨질 수 있음

Theorem. Half-integer system에서, Hamiltonian이 time reversal even ()이면, 모든 에너지 고유상태는 doubly degenerate하다.

이고, 이므로:

따라서 도 과 같은 에너지의 고유상태이다.

과연 과 은 같은 상태인가, 다른 상태인가?

다르다면 둘은 orthogonal 해야 한다. Antiunitary operator의 성질을 이용하여 확인한다.

, 으로 놓자.

여기서 $𝟙$ (half-integer )을 사용했다.

Antiunitary operator의 성질 를 적용하면:

따라서:

과 은 orthogonal하다. 즉, 같은 에너지를 가지는 서로 다른 상태이므로 doubly degenerate하다.

핵심

이 증명이 성립하려면 $𝟙$ 이 필수적이다. Integer spin ( $𝟙$ )이면 이 되어 이라는 자명한 등식만 나오고, orthogonality를 보장할 수 없다.

이 시스템에 따라 값이 달라진다는 게 납득하기 힘들다.