양자 HW2 풀이

비공식 자료, 책임 안 짐

이것은 양자물리 (학부용, Griffiths) HW2를 TA가 푼 풀이입니다.

채점 기준

total 100 pt

연산 실수, 부호 실수 → 각 풀이 내부에서 종류가 다른 실수가 최초 발생 시 각 -1 pt, 발견 안 될 경우 그냥 넘어감
(앞선 과정에서 생긴 실수로 인해 뒤에서 계속 틀리는 경우는 감점하지 않음)

Problem 7.9 (20 pt)

둘레 인 원 위를 자유롭게 움직이는 입자 (bead on a ring).

(a) Stationary states (3 pt)

Potential energy가 없으니까, 슈방 의 해가 free particle과 비슷한 꼴의 일 것이라고 가정한다.

가정한 식을 슈방에 넣어서 풀면 라는 것을 알 수 있다.
System 자체가 periodic boundary condition을 가지므로, 또한 PBC를 지켜야 한다.
를 강제하면, 와 가 infinite potential wall 과 비슷하게 양자화된다는 것을 알 수 있다.

이 에만 의존하므로 을 제외하면 과 이 에너지가 같다. doubly degenerate하다.

→ 주요 식이 있 으면 3 pt

문제에서 미리 알려준 답을 이용해서 그것이 틀리지 않음을 보인 경우, 이 system의 핵심인 periodic boundary에 의한 quantization을 언급하지 않으면 -1 pt

(b) First-order correction (5 pt)

먼저 의 eigen basis로 나타낸 의 matrix element를 일반적으로 구하자.

문제에서 권유한대로, 이라 적분 구간을 로 늘렸다.
위 적분식은 Gaussian function을 푸리에 변환하는 것이다.
1학기에 위치와 운동량의 wave function이 서로 푸리에 변환 관계인 것을 보았다.
그때 Gaussian function의 푸리에 변환은 또 Gaussian function이라는 점을 알게 되었다.

이 공식을 쓰면

교과서에 있는 식을 불러오면

Nondegernerate case

는 일 경우 밖에 없다.
식 (5)에 을 대입하면,

문제에서는 교과서 식 (Eq. 7.33)을 이용해 풀라고 했기 때문에, nondegenerate case를 따로 언급안 했어도 괜찮음

Degenerate case

Degenerate pair , 에 대해 를 구해야 한다.

, 을 위 식 (5) 에 대입하여 를 matrix로 reduce하자.
부분은 아니면 이 된다.

라고 두고, 행렬 요소를 쓰면

행렬 요소 구하기 까지 → 3pt

Eq. 7.33에 넣으면 이므로

→ 2 pt

(c) Good states (6 pt)

깔끔하게 생긴 행렬. 이것의 eigenvector는 이므로 good states는

→ 3 pt

Eq. 7.9로 확인하면 (가 real이므로)

로 (7)의 두 값과 일치한다. (가 (7)의 , 가 에 대응한다.)

… 혹시 에 대해 적분식으로 일일이 푼 사람은 없겠지?

→ 3 pt

물리적 해석: cosine state는 dimple이 있는 에서 최대라서 크게 내려가고, sine state는 에 node가 있어서 거의 영향을 받지 않는다. 이면 이라 , .

(d) Hermitian operator (6 pt)

모두와 commute하며, eigenvalue가 distinct한 hermitian operator 를 찾아라.

Parity operator 가 가 될 수 있다. Perturbation있기 전과 후 모두 parity symmetry를 가지기 때문.
.

• 는 hermitian이다.
• 는 에 대해 불변이므로 .
• 는 even function이므로 .

이므로.,

Eigenvalue 이 서로 다르므로 theorem의 조건을 만족하고,

→ 가 theorem 조건에 맞는 이유를 언급하지 않으면(특히 와 이랑 commute함을 언급 안 하면) -2 pt

언급은 했으나 와 인 이유를 설명하지 않으면 -1 pt.

와 의 simultaneous eigenst ate가 정확히 (c)의 good states다.

→ 를 이용해서 eigenket을 구한 부분이 없거나, good state를 와 연산한 기록이 없으면 -2 pt

→ 위 두 조건을 피하고 를 정확하게 찾았으면 온점수

Problem 7.11 (10 pt)

Infinite cubical well (한 변 )에 delta function bump .

Setup - Perturbation이 없을 때 eigenstate

그저

→ 1 pt (Eigen energy 식은 없어도 무관 )

Delta function이므로 matrix element는 에서의 값의 곱이다.

Ground state

→ 3 pt

First excited states

Triply degenerate ()이므로 를 대각화해야 한다. 에서의 값은

(, 에 주의.) 따라서 basis 에서

위 행렬의 eigenvalue는 아래 행렬의 eigenvalue와 같다. 위 행렬의 행과 열을 짝수번 swap하면 아래 행렬이 되기 때문.

Eigenvalue는 0과 이다.

Eigenvalue와 good states:

상응하는 good state언급 없이 energy만 구해도 괜찮음

→ 6 pt

→ 답이 맞더라도 degenerate perturbation theory 적용 안 하면 -4 pt

Problem 7.12 (10 pt)

(a) Unperturbed

= standard basis, eigenvalue .

→ 2 pt

과 가 degenerate.

(b) Exact eigenvalues

→ 2pt

에 을 넣으면 이므로

→ 2 pt

(c) Nondegenerate PT for

로 와 second order까지 일치한다.

→ 3 pt

Second order 없으면 -2 pt

(d) Degenerate PT for

이미 diagonal이므로 , .
은 exact와 정확히 같고, 은 first order까지 로 일치한다.

→ 3 pt

Problem 7.17 (10 pt)

1D harmonic oscillator의 lowest-order relativistic correction.
양자 필기 - Relativistic Correction to Hydrogen

풀이 (ladder operator, Problem 2.12의 technique)

이고 1D oscillator는 nondegenerate이므로 .
Momentum을 ladder operator로 쓰면

을 전개했을 때 diagonal에 기여하는 것은 두 개, 두 개인 항뿐이다.
부호는 이다.
, 을 써서 여섯 가지 순서를 계산하면

순서

→ 7 pt

합은 이다. 따라서

→ 3 pt

다른 풀이 - energy expectation value이용

[[양자 필기 - Relativistic Correction to Hydrogen#4-first-order-correction-p-4를-피하는-트릭|4. First-order correction 를 피하는 트릭]]에서 배웠듯,

이 식도 이용할 수 있다.
임을 이용, 결국 과 을 구하는 것이 관건이 된다.
물론 적분식을 이용해도 괜찮지만, 이번에도 ladder operator를 사용해 보자.

을 전개했을 때, 기댓값이 0이 되지 않는 항은 와 뿐이다.

을 전개했을 때, 기댓값이 0이 되지 않는 항은 두 개, 두 개인 항뿐이다.

순서

→ 7 pt

이리가나 저리가나 첫번째 풀이와 두번째 풀이가 별반 다르지 않음을 알 수 있다.
오히려 첫번째 풀이가 깔끔할지도?

를 적용해 최종 계산한다.
하다 보면 이 된다는 것을 알 수 있다.
결국 답은 첫번째 풀이와 똑같이 나온다.

→ 3 pt

Problem 7.19 (10 pt)

, 는 서로 commute.
, 를 만족한다.
.
그리고 는 모든 와 commute한다. 마찬가지로 는 모든 와 commute한다.

마지막으로 commutator product rule

아래 풀이에서는 관련 항들을 0으로 취급하여 식에 적지 않았다.

(a) 성분:

, 도 cyclic permutation으로 같으므로

굳이 하고 싶다면, 레비치비타를 이용해서 한번에 general하게 나타낼 수 있다.

→ 2 pt

(b) 같은 계산을 에 대해 하면

(과 가 commute하므로 로 순서 문제가 없다.)

→ 2 pt

(c) (a) + (b):

→ 1 pt

(d), (e) , 이고 과 는 commute하므로

→ 2 + 2 pt

(f) 이므로 (d), (e)와 자기 자신과의 commutator에 의해

→ 1 pt

의미: 는 , 와 commute하지 않지만 , , , 와는 commute한다. 그래서 가 good states다 (양자 필기 - Spin-Orbit Coupling and Fine Structure).

Problem 7.20 (10 pt)

그저 교과서에 지면 상 실리지 못 한 유도를 스스로 하는 문제.

주어진 식은

이 둘을 더해서

이걸 만들면 된다.
업스핀일 때와 다운스핀일 때, 두 가지 경우로 나누어 각각 계산하면 된다.
문제에서 힌트를 준 것 처럼, 이 두 가지 경우를 대입해서 각각 계산하면 된다.

Case 1: (up spin)

이므로 .

이므로 (7.68)이 나온다.

→ 5pt

Case 2: down spin

이므로 .

이므로 역시 (7.68)이 나온다.

→ 5 pt

: (plus sign)만 가능하다. (35)의 은 형식적으로 이지만, Case 1처럼 을 약분한 (36)에 을 넣으면 (40)이 그대로 성립한다 (footnote 18). 엄밀하게는 Darwin term이 이 값을 준다 (Sakurai 5.17 - Darwin Term and Fine Structure).

Problem 7.21 (10 pt)

아주 귀찮은 계산 문제

Fine structure로 인한 energy spliting에 의해 늘어나는 Balmer line 은 몇 개이고, 선 사이 간격은 얼마인가?

구하기 → 단위로 frequency 구하기(선과 선 사이의)

Bohr theory - Fine structure를 고려하지 않을 때 Balmer line

wave length, frequency2 pt

Fine structure sublevels

(7.69)에서 이고

.

Sublevel의 개수는 의 종류로 결정된다.

Level		(eV)

→ 각 energy level의 값을 굳이 안 구해도 괜찮음

==는 2개, 은 3개의 sublevel로 갈라진다.==

Allowed transitions

Chapter 7 범위에서는 selection rule을 따로 고fu하지 않고, 의 세 sublevel에서 의 두 sublevel로 가는 모든 조합 개를 전이로 본다. :

Line	Transition	(eV)	이전 level과 에너지 차이 (eV)	이전 level과 frequency 차이 (Hz)
(1)
(2)			1.341	3.242
(3)			4.47	1.08
(4)			2.738	6.662
(5)			1.341	3.24
(6)			0.447	1.08

이00 학생의 그림

Forbidden transition?

6번 transition이 논란이 생길 만 한 부분이다. 이것이 forbidden transition이라는 이유로 답안에서 제외한 학생들이 많다.
전자 에너지 전이에서 고려되는 selection rule, , 은,
상태 에서 로 가는 transition rate가 에 비례하기 때문에 생긴 규칙이다.
샌드위치된 연산자는 1rank-tensor이기 때문에 값을 1만큼 바꾼다는 규칙을 이용한 것이다. (Griffith chapter 11 p.420)
이 규칙은 전자 에너지 전위가 전자기파로 인해 일어날 때, electric dipole approximation의 결과로 나타난다.
실제로는 Forbidden transition도 아주 드물지만 가능은 하다. 이를 인광이라고 부른다.
조교가 처음 이 문제를 AI를 이용해 풀었을 때도, claude가 forbidden transition을 언급하며 유효한 답은 ‘5개의 transition이 가능하다’ 이라고 답변했다.
이 문제는 아직 chapter 11 이전의 문제이며, 전자기파가 언급되지 않았다는 점을 지적하자 AI는 문제의 답을 6개로 수정했다.
이러한 이유로, 왜 인 게 안 되는지 설명이 제대로 없는 풀이 ( 혹은 electric dipole transition이 언급되지 않은 경우) 는 AI의 답변을 깊이 고민하거나 이해하지 않은 것으로 간주한다. (-2pt)
광자가 을 1가져간다는 설명도 애매하다. quadrupole photon (2E photon)은 를 가져간다.

최종 답

The red Balmer line splits into 6 lines. In order of increasing frequency, they come from the transitions
(1) to ,
(2) to ,
(3) to ,
(4) to ,
(5) to ,
(6) to .
The frequency spacing
between line (1) and line (2) is Hz,
between (2) and (3) is Hz,
between (3) and (4) is Hz,
between (4) and (5) is Hz, and
between (5) and (6) is Hz.

7 pt

설마 누군가가 에너지 레벨을 내림차순으로 보아서 frequency차이를 계산했다면?

아이고 다시 계산해야 하네?

채점 참고

간격의 패턴: 여섯 선은 도착 준위가 인 세 선 (1)–(3)과 인 세 선 (4)–(6)의 두 묶음이다. 각 묶음 안의 간격은 sublevel 사이의 간격 ( GHz, GHz)이고, 두 묶음은 fine splitting만큼 통째로 밀려 있다. 그래서 같은 간격이 두 번씩 나타난다.

Problem 7.45 (20 pt)

Stark effect: . Spin과 fine structure는 무시.

상태로 를 잘 샌드위치하는 게 관건.
state 관해서는 degenrative perturbation theory를 써야 한다.

(a) Ground state

은 spherically symmetric이고 이기 때문이다. (Parity로 보면 은 even, 는 odd.)

5 pt

(b) First excited states

Basis . 대부분의 matrix element는 selection rule로 계산 없이 0이다.

• : 이므로, state에 을 적용해도 값이 절대 바뀌지 않는다.
• 그래서 이 다른 state 사이의 matrix element는 0 (φ 적분이 사라짐). 따라서 은 다른 state와 섞이지 않는다.
• Parity: 의 parity는 이고 는 odd이므로, 같은 사이의 element (모든 diagonal 포함)는 0이다.

남는 것은 하나다.

Angular 부분:

Radial 부분 ():

의 block 구조

Basis 순서를 로 바꾸면 는 block diagonal이 된다.

• block 두 개: , 은 다른 state와 섞이지 않으므로 이미 good states이고, 이다.
• 따라서 왼쪽 상단의 block 만 대각화하면 된다.

block 대각화

로 두면 characteristic equation은

Eq. 7.33에 을 넣어도 로 같은 결과가 나온다. 따라서 first-order correction은

는 세 준위로 갈라진다: , (, 의 doubly degenerate), .

Selection rule 충분한 설명 없을 경우, 각기 -1 pt (문제에서 hint라고 준 것의 근거를 설명해야 함)

10 pt

(c) Good states와 electric dipole moment

Eigenvector 구하기

block에서 을 푼다 (는 , 의 계수).

Normalize하면 good states는

5pt

Theorem 관점: 어떤 symmetry가 남았나

Electric field가 축을 골라서, 의 완전한 rotational symmetry와 parity는 깨지고 축에 대한 회전 대칭만 남는다. 후보 operator를 하나씩 확인하면

Operator	와 commute?	와 commute?	쓸 수 있나
	✓	✓ (는 축 회전에 불변)	✓
	✓	✗ ()	✗
Parity	✓	✗ ()	✗

의 eigenvalue는 에 대해 이다. 따라서 , 은 로 구별되어 바로 good states가 되지만, 과 은 둘 다 이라 구별되지 않는다. 이 둘을 구별해 줄 수 있는 와 parity는 바로 electric field가 깨뜨린 symmetry이므로, 이 block은 위처럼 직접 대각화해야 한다. 거꾸로 말하면, field가 parity를 깨뜨렸기 때문에 parity가 반대인 와 가 섞일 수 있는 것이다.

과 의 degeneracy는 exact하다

의 eigenvalue 이 두 번 겹치므로 만으로는 이 두 state 사이의 good states가 정해지지 않는다 (footnote 6). 그런데 평면에 대한 거울 반사 (, 즉 )는 , 와 모두 commute하고 로 을 바꾼다. 따라서 과 의 에너지는 모든 order에서 같고, 이 두 state의 어떤 linear combination (예: 실수 궤도 , )을 쓰든 똑같이 good states다.

물리적 그림: hybrid orbital

(44)를 넣고 정리하면 ()

의 대괄호는 축 위()에서 항상 이지만, 축 위()에서는 로 과 함께 크기가 커진다. 그래서 전자 밀도가 쪽으로 치우친 hybrid orbital이 되고, 는 그 반대다. 방향 field는 음전하인 전자를 쪽으로 밀기 때문에, 전자가 이미 그쪽에 가 있는 가 에너지가 낮다. 아래 계산이 이를 정량적으로 확인해 준다.

의 기댓값:

• : parity에 의해 이므로 .
• : , 는 0이다 (, 는 만 연결하는데 두 성분 모두 ). 성분은

와 무관한 permanent electric dipole moment다. 확인: 이므로 로 (49)와 일치한다. Field 방향으로 정렬된 dipole ()이 내려간다.

왜 만 linear Stark effect를 보이나

이 다르고 parity가 반대인 state (, )가 degenerate하기 때문에 섞여서 permanent dipole을 만들 수 있다. 이것은 potential의 accidental degeneracy 덕분이다. Ground state는 섞을 짝이 없어서 first order가 0이고, 효과는 에 비례하는 second order부터 나온다 (quadratic Stark effect, Problem 7.51).

연관 학습 노트

• 양자물리 (학부용, Griffiths)
• 양자 필기 - Second-Order Energy Correction
• 양자 필기 - Two-Fold Degenerate Perturbation Theory
• 양자 필기 - Good States in Degenerate Perturbation Theory
• 양자 필기 - Higher-Order Degeneracy
• 양자 필기 - Relativistic Correction to Hydrogen
• 양자 필기 - Spin-Orbit Coupling and Fine Structure
• QM lecture note - Simple Harmonic Oscillator

References

• Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.), Problems 7.9, 7.11, 7.12, 7.17, 7.19, 7.20, 7.21, 7.45
• 원본 과제 파일: 양자_HW2.pdf (TA 손풀이 포함)